### 1. Chứng minh tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật:

Vì \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(M\), nên \(AD\) là đường cao của tam giác \(ABC\), và do đó \(AD\) là đường cao của hình chữ nhật \(ABCD\).

Hơn nữa, vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(BM = MC\).

Với \(AD \parallel BC\), chúng ta có \(\angle BAM = \angle MAC\), do đó tam giác \(ABM\) và \(ACM\) là tam giác đồng dạng.

Vì \(BM = MC\) và \(AD\) là chiều cao của tam giác \(ABC\), nên \(AB = AC\), do đó tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật.

### 2. Tứ giác \(EHMD\) là hình gì? Vì sao?

Vì \(H\) là trung điểm của \(AE\), nên \(EH = HM\).

Và vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(EM = MD\). Do đó, \(EH = HM = EM = MD\), nên \(EHMD\) là hình vuông.

### 3. Tìm điều kiện của tam giác \(ABC\) để tứ giác \(ABEM\) là hình thoi:

Để \(ABEM\) là hình thoi, các cạnh phải bằng nhau và đôi điểm đối diện phải trùng nhau.

Ta có: - \(AB = EM\) (vì \(ABEM\) là hình thoi). - \(AB = AC\) (vì tam giác \(ABC\) là vuông cân). - \(AC = BM\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\)). - \(EM = MD\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\)).

Từ các phần trên, ta có: \[AB = AC = BM = EM = MD\]

Do đó, điều kiện để \(ABEM\) là hình thoi là \(AB = AC\) (tức là tam giác \(ABC\) phải là tam giác vuông cân.)

### 4. Chứng minh ba điểm \(H\), \(P\), \(Q\) thẳng hàng:

Vì \(H\) là trung điểm của \(AE\), nên \(AH = HE\).

Vì \(P\) là hình chiếu của \(E\) trên \(BD\),

nên \(EP\) là đoạn ⊥ với \(BD\) tại \(P\), nghĩa là \(EP \parallel AH\). Tương tự, \(EQ\) là đoạn ⊥ với \(CD\) tại \(Q\), nên \(EQ \parallel AH\).

Vậy ta có \(EP \parallel EQ\), do đó \(H\), \(P\), \(Q\) thẳng hàng. love you

Đáp án + Giải thích các bước giải:

1)

Xét tứ giác `ABDC` có: `M` vừa là trung điểm `AD`, vừa là trung điểm `BC` nên `ABDC` là hình bình hành

Mà: `\hat{BAC}=90^o` nên `ABDC` là hình chữ nhật

Vậy `ABDC` là hình chữ nhật

2)

Xét `\DeltaAED` có: `H,M` lần lượt là trung điểm `AE,AD` nên `EM` là đường trung bình của `\DeltaAHD`

`=>EM////HD`

`=>EHMD` là hình thang

Mà: `\hat{EHM}=90^o` nên `EHMD` là hình thang vuông

Vậy `EHMD` là hình thang vuông

3)

Xét tứ giác `ABEM` có: `MA=ME;BA=BE` (Vì `BM` là đường trung trực của `AE` do `BM` vuông góc với `AE` tại trung điểm `H`)

Để `ABEM` là hình thoi thì `AM=AB`

Mà: `AM=MB` (Vì `MA=1/2BC=MB` do `AM` là đường trung tuyến của `\DeltaABC` vuông tại `A`)

Do đó: `AM=AB=MB`, hay `\DeltaMAB` đều

`=>\hatB=60^o`

Vậy `\DeltaABC` có: `\hatB=60^o` thì tứ giác `ABEM` là hình thoi

4)

Gọi `I` là giao điểm của `PE` và `BH`, `J` là giao điểm của `BD` và `CE`, `G` là giao điểm của `QE` và `BC`

Ta có: `B,C` cùng thuộc đường trung trực của `AE` nên `BE=BA;CE=CA`

Dễ thấy `\DeltaBEC=\DeltaBAC(c.c.c)` nên `\hat{BEC}=\hat{BAC}=90^o`

Ta có các nhận xét:

Nhận xét `1`: `\DeltaIHE` $\backsim$ `\DeltaIPB(g.g)` nên `\DeltaIPH` $\backsim$ `\DeltaIBE(c.g.c)`, hay `\hat{IHP}=\hat{IEB}`, tức `\hat{EHP}=\hat{EBP}`

Nhận xét `2`: `\hat{EBP}+\hat{EJB}=\hat{DJC}+\hat{DCJ}=90^o` và `\hat{EJB}=\hat{DJC}` (Đối đỉnh), do đó `\hat{EBP}=\hat{ECD}`

Nhận xét `3`: `\DeltaGEH` $\backsim$ `\DeltaGCQ(g.g)` nên `\DeltaGEC` $\backsim$ `\DeltaGHQ(c.g.c)`, hay `\hat{GEC}=\hat{GHQ}`, tức `\hat{CEQ}=\hat{CHQ}`, hay `\hat{ECQ}=\hat{EHQ}`

Từ đó suy ra: `\hat{EHP}=\hat{EHQ}`, hay `H,P,Q` thẳng hàng

Vậy `H,P,Q` thẳng hàng