`x^3-8x^2-9`

`=x^3-3x^2+3x-1-5x^2-3x-8`

`=(x-1)^3-(root(3)(5x^2+3x+8))^3`

`=(x-1-root(3)(5x^2+3x+8))[(x-1)^2+(x-1)*root(3)(5x^2+3x+8)+((root(3)(5x^2+3x+8))^2]`

`=(x-1-root(3)(5x^2+3x+8))(x^2-2x+1+(x-1)*root(3)(5x^2+3x+8)+(root(3)(5x^2+3x+8))^2)`

Bạn đọc tham khảo

Công thức Cardano :

Ta sẽ quy phương trình về dạng : `\gamma^3 + \gammap + q = 0`

Đặt `y = x - a`

`<=> x^3 - 8x^2 - 9 = y^3 +3y^2 a + 3ya^2 + a^3 - 8(y + a)^2 - 9`

`= y^3 + 3y^2 a+ 3ya^2 + a^3 - 8(y^2 + 2ay + a^2) - 9`

`= y^3 + y^2 (3a - 8) + y(3a^2 - 16a) + a^3 - 8a^2 - 9`

Chọn `a = 8/3` thì phương trình quy ban đầu quy về : `y^3 -64/3 y - 1267/27 = 0`

Như vậy nếu ta đặt `-64/3 = -3uv` và `-1267/27 = u^3 + v^3` thì phương trình tương đương :

`y^3 - 3uvy + u^3 + v^3= 0`

Theo khai triển hằng đẳng thức bậc ba quen thuộc ta có thể suy ra được ngay :

`y + u + v = 0 \text{hoặc} y^2 - (u + v)y + u^2 + v^2 - uv = 0`

Xét `y + u + v = 0`

Mục tiêu cần làm là tìm `u,v` là ta có thể suy ra được nghiệm của phương trình

Từ cách đặt ta có :

`{(u^3 + v^3 = -1267/27),(u^3 v^3 = (64^3)/(9^3)):}`

Theo định lý Vi-ét đảo, `u^3, v^3` là nghiệm của phương trình :

`X^2 + 1267/27 X + (64^3)/(9^3) = 0`

`\Delta = 1605289/729 - 1048576/729`

`= 556713/729 > 0`

Do đó : `u^3 = -1267/54 + (sqrt(556713))/27`

`v^3 = -1267/54 - (sqrt(556713))/27`

`=> y = - u - v = -\root{3}{-1267/54 + (sqrt(556713))/27} -\root{3}{-1267/54 - (sqrt(556713))/27}`

`<=> x = -\root{3}{-1267/54 + (sqrt(556713))/27} -\root{3}{-1267/54 - (sqrt(556713))/27} + 8/3`

Xét `y^2 - (u+ v)y + u^2 v^2 - uv = 0`

`\Delta = -3(u - v)^2`

Phương trình có nghiệm khi `u = v` (vô lý)

Vậy `x^3 - 8x^2 - 9`

`= (x + \root{3}{-1267/54 + (sqrt(556713))/27} + \root{3}{-1267/54 - (sqrt(556713))/27} - 8/3)(x^2 - x(\root{3}{-1267/54 + (sqrt(556713))/27} + \root{3}{-1267/54 - (sqrt(556713))/27} -8/3 - 8) -9/(\root{3}{-1267/54 + (sqrt(556713))/27} + \root{3}{-1267/54 - (sqrt(556713))/27} - 8/3))` (đoạn này mình dùng hocne)

--------------------------

t thề ngồi tính mấy cái hệ số còn mệt hơn làm bài tập lý