## Giải chi tiết:

**a) Chứng minh AM = AN:**

* Xét hai tam giác ABM và ACN, ta có:

* AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)

* BM = CN (theo giả thiết)

* $\angle ABM = \angle ACN$ (do tam giác ABC cân tại A)

* Vậy, $\triangle ABM = \triangle ACN$ (c.g.c)

* Từ $\triangle ABM = \triangle ACN$, suy ra:

* AM = AN (hai cạnh tương ứng)

**b) Chứng minh BH = CK:**

* Xét hai tam giác vuông BHM và CKN, ta có:

* $\angle BHM = \angle CKN = 90^\circ$

* AM = AN (chứng minh ở bước a)

* $\angle BAM = \angle CAN$ (do $\triangle ABM = \triangle ACN$)

* Vậy, $\triangle BHM = \triangle CKN$ (cạnh huyền - góc nhọn)

* Từ $\triangle BHM = \triangle CKN$, suy ra:

* BH = CK (hai cạnh tương ứng)

**c) Chứng minh AP là trung trực của BC:**

* Xét hai tam giác vuông AHP và AKP, ta có:

* $\angle AHP = \angle AKP = 90^\circ$

* AP là cạnh chung

* AH = AK (do $\triangle ABM = \triangle ACN$)

* Vậy, $\triangle AHP = \triangle AKP$ (c.g.c)

* Từ $\triangle AHP = \triangle AKP$, suy ra:

* HP = KP (hai cạnh tương ứng)

* $\angle HAP = \angle KAP$ (hai góc tương ứng)

* Vì $\angle HAP = \angle KAP$ và AP là cạnh chung của hai tam giác AHP và AKP, nên AP là đường phân giác của $\angle BAC$.

* Vì HP = KP và AP là cạnh chung của hai tam giác AHP và AKP, nên AP là đường trung trực của HK.

* Vì HK là đường thẳng vuông góc với BC tại P, nên AP là đường trung trực của BC.

**Kết luận:**

a) AM = AN

b) BH = CK

c) AP là trung trực của BC.