a) Xét tứ giác `AEHF` có:

$\widehat{HEA}$`=`$\widehat{HFA}$`=`$\widehat{EAF}$`=`$90^o$

`=>` Tứ giác `AEHF` là hình chữ nhật.

b) ( Gọi điểm đi qua E và `⊥EF` và cắt `BC` tại `I` ) ( Gọi thế cho dễ )

Gọi 2 đường chéo `EF` và `AH` cắt nhau tại `D`.

Vì tứ giác `AEFH` là hình chữ nhật (cmt) 

`=>``AD=DH=FD=ED`

Xét `ΔEHD` có:

`ED=DH` (cmt)

`=>``ΔEHD` là `Δ` cân tại `D`.

`=>`$\widehat{HED}$`=`$\widehat{EFD}$

Ta có: $\widehat{IHE}$`+`$\widehat{EHD}$`=`$90^o$

          $\widehat{IEH}$`+`$\widehat{HED}$`=`$90^o$

`=>` $\widehat{IEH}$`=`$\widehat{IHE}$

Xét `ΔIEH` có:

$\widehat{IEH}$`=`$\widehat{IHE}$ (cmt)

`=>``ΔIEH` là `Δ` cân tại `I`.

`=>``EI=IH`         `(1)`

Lại có: $\widehat{BEI}$`+`$\widehat{IEH}$`=`$90^o$

          $\widehat{EBI}$`+`$\widehat{BHE}$`=`$90^o$ ( Vì `ΔBEH` là `Δ` vuông )

 
`=>` $\widehat{BEI}$`=`$\widehat{EBI}$ 

Xét `ΔEBI` có:

$\widehat{BEI}$`=`$\widehat{EBI}$  (cmt)

`=>``ΔEBI` cân tại `I`.

`=>``BI=EI`         `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` `=>` `I` là trung điểm của `BH`.

c) Xét `ΔABC` `⊥A` có: `AM` là đường trung tuyến

`=>` `AM=`$\dfrac{1}{2}$`BC`         `(3)`

Ta có: `I` là trung điểm của BH

`=>``IH=`$\dfrac{1}{2}$`BH`

Lại có: `J` là trung điểm của `HC`

`=>``JH=`$\dfrac{1}{2}$`HC`

Ta có: `IH+JH=`$\dfrac{1}{2}$`BH``+`$\dfrac{1}{2}$`HC`

         `=>` $\dfrac{1}{2}$`.``(BH+HC)`

         `=>` $\dfrac{1}{2}$`BC`         `(4)`

Lại có `IH+JH=IJ`         `(5)`

Từ `(3)`,`(4)` và `(5)` `=>``AM=IJ`

d) Vì `AM` là đường trung tuyến của `ΔBAC`

`=>``AM=BM`.

Xét `ΔBMA` có:

`AM=BM` (cmt)

`=>``ΔBMA` là `Δ` cân tại `M.`

`=>` $\widehat{MBA}$`=`$\widehat{MAB}$

Mà $\widehat{MBA}$`=`$\widehat{BEI}$ (cmt)

`=>` $\widehat{BEI}$`=`$\widehat{MAB}$

 $\widehat{BEI}$`=`$\widehat{MAB}$ ở vị trí đồng vị

`=>``AM``EI`

Mà `EI⊥EF`

`=>``AM⊥EF` (đpcm)

$#chithanh17062010$