$\color{red}{a)}$

Xét `\Delta ADE` và `\Delta NAE` có:

     `\hat{D} = \hat{EAN}` `(=90^o)`

     `\hat{E}` là góc chung

`=>` $\Delta ADE \backsim \Delta NAE$ `(g.g)`

`=> \hat{A_1} = \hat{N}`

Mặt khác, ta có: $BA \parallel ND$`=> \hat{A_2} = \hat{N}`  (so le trong)

Do đó suy ra: `\hat{A_1} = \hat{A_2}`

Xét `\Delta ADE` và `\Delta ABM` có:

     `\hat{D} = \hat{B}` `(=90^o)`

     `AD = AB` (Hình vuông ABCD)

     `\hat{A_1} = \hat{A_2}`

`=> \Delta ADE = \Delta ABM` `(g.c.g)`

`=> AE = AM` (đpcm)

----------------------------

$\color{red}{b)}$

Xét `\Delta AEN` vuông tại `A` có `AD \bot EN`

     `=> 1/(AD)^2 = 1/(AE)^2 + 1/(AN)^2`

Mà: $\bullet$ `AD = AB` (hình vuông ABCD)

        $\bullet$ `AE = AM` (cm trên)

Do đó: `1/(AB)^2 = 1/(AM)^2 + 1/(AN)^2` (đpcm)

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)$ Xét $ΔADE$ và $ΔABM$ có:

$\widehat{BAM}=\widehat{DAE}$ (cùng phụ với $\widehat{DAM}$)

$AB=AD$ (cạnh hình vuông)

$\widehat{ADE}=\widehat{ABM} (=90^o)$

$⇒ ΔADE=ΔABM(g-c-g)$

$⇒ AE=AM$ (đpcm)

$b)$ Xét $ΔADE$ và $ΔNAE$ có:

$\widehat{ADE}=\widehat{NAE} (=90^o)$

Chung $\widehat{ADE}$

$⇒ ΔADE~ΔNAE(g-g)$

$⇒ \dfrac{AE}{ED}=\dfrac{EN}{AE}$

$⇔ AE^2=ED.EN$

Xét $ΔADN$ và $ΔEAN$ có:

$\widehat{ADN}=\widehat{EAN} (=90^o)$

Chung $\widehat{AND}$

$⇒ ΔADN~ΔEAN(g-g)$

$⇒ \dfrac{AN}{EN}=\dfrac{DN}{AN}$

$⇔ AN^2=EN.DN$

Xét $ΔADN$ và $ΔEDA$ có:

$\widehat{ADN}=\widehat{EDA} (=90^o)$

$\widehat{EAD}=\widehat{AND}$ (cùng phụ với $\widehat{DAM}$)

$⇒ ΔADN~ΔEDA(g-g)$

$⇒ \dfrac{AD}{DN}=\dfrac{ED}{AD}$

$⇔ AD^2=ED.DN$

Ta có:

$\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{1}{ED.EN}+\dfrac{1}{EN.DN}=\dfrac{1}{EN}(\dfrac{1}{ED}+\dfrac{1}{DN})$

$=\dfrac{1}{EN}.\dfrac{ED+DN}{ED.DN}=\dfrac{1}{EN}.\dfrac{EN}{AD^2}=\dfrac{1}{AD^2}$

Mà $AE=AM,AD=AB$

$⇒ \dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{1}{AB^2}$ (đpcm)

#tuan789