Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a)

Xét tứ giác BPCQ:

$\widehat{BPC} = \widehat{BQC} = 90^\circ$ (vì BD, CF là đường cao) * $\widehat{PBC} + \widehat{PCQ} = 180^\circ - \widehat{BAC} - \widehat{BCA} = 180^\circ - (180^\circ - \widehat{ABC}) = \widehat{ABC}$

Mà $\widehat{ABC} + \widehat{ABQ} = 180^\circ$

Suy ra $\widehat{PCQ} + \widehat{ABQ} = 180^\circ$

Vậy tứ giác BPCQ nội tiếp.

Xét tứ giác BPCQ nội tiếp $\widehat{CQE} = \widehat{CBP}$ (cùng chắn cung CP)

$\widehat{CBP} = \widehat{CAB}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$)

$\widehat{CAB} = \widehat{QAC}$ (cùng chắn cung QC)

Suy ra $\widehat{CQE} = \widehat{QAC}$

Vậy AC vuông góc với QE.

b)

Xét tứ giác ABQE:

$\widehat{AQE} = 90^\circ$ (vì AQ vuông góc với AM)

$\widehat{ABE} = 90^\circ$ (vì BE vuông góc với AC)

$\widehat{QAB} = \widehat{QEA}$ (cùng phụ với $\widehat{QAE}$)

Vậy tứ giác ABQE nội tiếp.

Xét tứ giác ABQE nội tiếp:

$\widehat{BAE} = \widehat{BQE}$ (cùng chắn cung BQ)

$\widehat{BQE} = \widehat{BCQ}$ (cùng chắn cung BQ)

$\widehat{BCQ} = \widehat{BAC}$ (cùng phụ với $\widehat{BCA}$)

Suy ra $\widehat{BAE} = \widehat{BAC}$

Vậy AB = AE.

c)

Xét tam giác ABD và tam giác AQD:

$\widehat{BAD} = \widehat{QAD}$ (cùng phụ với $\widehat{QAE}$)

$\widehat{ADB} = \widehat{AQD}$ (cùng phụ với $\widehat{QDB}$)

AD chung

Vậy tam giác ABD = tam giác AQD (g.c.g).