Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $MN\perp AB, MP\perp AC, AB\perp AC\to ANMP$ là hình chữ nhật

b.Ta có: $MN//AC(\perp AB), M$ là trung điểm $BC\to N$ là trung điểm $AB\to NA=NB$

                $MP//AB(\perp AC), M$ là trung điểm $BC\to P$ là trung điểm $AC\to PA=PC$

c.Gọi $HN\cap BK=D$

Ta có: $KM\perp BC=M\to KM$ là trung trực $BC\to KB=KC\to \Delta KBC$ cân tại $K$

$\to KM$ là phân giác $\widehat{BKC}\to \widehat{MKB}=\widehat{MKC}$

Ta có: $\Delta AHB$ vuông tại $H, N$ là trung điểm $AB\to NH=NA=NB=\dfrac12AB\to \Delta NHB$ cân tại $N$

$\to \widehat{DHB}=\widehat{NHB}=\widehat{NBH}=\widehat{ABC}=90^o-\hat C=\widehat{MKC}=\widehat{MKB}$

$\to\Delta BDH\sim\Delta BMK(g.g)$
$\to \widehat{BDH}=\widehat{BMK}=90^o\to BK\perp HN$

Ta có: $\Delta AHB$ vuông tại $H, N$ là trung điểm $AB\to NH=NA=NB=\dfrac12AB$

            $\Delta AHC$ vuông tại $H, P$ là trung điểm $AC\to PH=PA=PC=\dfrac12AC$

$\to HN=NA, PH=PA$

$\to\Delta AP=\Delta HNP(c.c.c)$

$\to \widehat{NHP}=\widehat{NAP}=90^o$

$\to NH\perp HP$

$\to BK//HP(\perp HN)$

d.Ta có: $M, P$ là trung điểm $AB,AC\to NP$ là đường trung bình $\Delta ABC\to NP//BC\to NP//HM$

               $PH=PA=MN$

$\to MHNP$ là hình thang cân