`n^3 +6n^2 +8n`

`= n(n^2+6n+8)`

`= n(n^2+2n+4n+8)`

`=n[n(n+2)+4(n+2)]`

`=n(n+2)(n+4)`

Ta có: `n` là số chẵn nên `n` có dạng `2k (k∈Z)`

`⇒ n(n+2)(n+4)`

`= 2k(2k+2)(2k+4) \vdots 2`

`=2k.2(k+1).2(k+2)`

`=8k(k+1)(k+2) \vdots 8`

`⇒ n(n+2)(n+4) \vdots 2;8` với `∀ n` chẵn

`⇒ n(n+2)(n+4) \vdots 16` với `∀ n` chẵn `(*)`

Lại có:

`k(k+1)(k+2)` là ba số nguyên liên tiếp

`⇒ k(k+1)(k+2) \vdots 3`

`⇒ 8k(k+1)(k+2) \vdots 3` 

`⇒ n(n+2)(n+4) \vdots 3` với `∀ n` chẵn `(**)`

Từ $(*)$ và $(**)$, suy ra:

`n(n+2)(n+4) \vdots 3;16` với `∀ n` chẵn

`⇒ n(n+2)(n+4) \vdots 48` với `∀ n` chẵn

`⇒ n^3 +6n^2 +8n \vdots 48` với `∀ n` chẵn `(đpcm)`

n^3+6n^2+8n

=n^3+6n^2+12n-4n

=n^3+3.n^2.2+3.n.2^2+2^3-2^3-4n

=(n+2)^3-2^3-4n

mà n chẵn=>n=2k (k∈N*)

=>2k+2 chia hết cho 2

=>(2k+2)³ chia hết cho 8

vì 2^3+4.2k=8+4.2k=4.(2+2k) chia hết cho 8

=>(n+2)³-2³-4n chia hết cho 16

=>(n+2)³-2³-4n chia hết cho 3

mà (3,16)=1

=>đpcm