`a)`Vì `BEDF` là hình bình hành(GT) nên:

    `AB=DC` và `AD`//`BC`

mà `E,F` lần lượt là trung điểm của `AB` và `CD`

nên `DF=EB=AE=FC` và `DF`//`EB`

suy ra `BEDF` là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết)

`b)`Ta có: `AB=2AD` (GT) mà `AB=2AE` ( `E` là trung điểm của `AB`)

nên `AD=AE`

mà `AE=DF`(CMT)

nên `AD=AE=AF`    `(1)`

Xét hình bình hành `ABCD` có:`EF` là đường trung bình(`E,F` lần lượt là trung điểm của `AB` và `DC`)

nên `EF=AD=BC`(T/c đường trung bình trong hình bình hành)     `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`,ta có `AD=AE=AF=EF`

suy ra tứ giác `AEFD` là hình thoi.

    Ta có:`AB=2BC`(`AD=BC` và `AB=2AD`) mà `AB=2EB` ( `E` là trung điểm của `AB` )

nên `BC=EB`

mà `EB=FC`(CMT)

nên `EB=BC=FC`

mà `EF=BC`(CMT)

nên `EB=BC=FC=EF`

suy ra tứ giác `BEFC` là hình thoi.

`c)`Vì `BEDF` là hình bình hành(CMT)

nên `ED`//`BF`(T/c hình bình hành)

suy ra `hat(AEM)=hat(EBN)`(`2` góc đồng vị)

Vì `EBCF` là hình thoi(CMT)

nên `EC⊥BF`(T/c `2` đường chéo của hinh thoi)

suy ra `ΔEBN` vuông tại `N`

Khi đó `hat(NEB)+hat(NBE)=90^o`(`2` góc phụ nhau)

mà `hat(AEM)=hat(EBN)`(CMT)

nên `hat(NEB)+hat(AEM)=90^o`

mà `hat(NEB)+hat(AEM)+hat(NEM)=180^o`(Góc bẹt)

nên `hat(NEM)=180^o-90^o=90^o`

Vì `AEFD` là hình thoi(CMT)

nên `AF⊥ED`

Xét tứ giác `EMFN` có:

    `hat(NEM)=hat(EMF)=hat(ENF)(=90^o)`

nên tứ giác `EMFN` là hình chữ nhật

`d)`Xét `ΔEDC` vuông tại `E` có:

         `EC^2+ED^2=DC^2`(Định lý Pythagore)

   mà `DE=80cm`,`EC=60cm`(GT)

   nên `DC^2=60^2+80^2=3600+6400=10000(cm)`

   suy ra `DC=`$\sqrt{10000}$`=100(cm)`

   Ta có: `AEFD` và `BEFC` là hình thoi(CMT)

   nên `M` và `N` lần lượt là trung điểm của `ED` và `EC`(T/c giao điểm `2` đường chéo của hình thang)

   suy ra `MN` là đường trung bình của `ΔEDC`

   Khi đó `MN=1/2DC`

   mà `DC=100(cm)`(CMT)

   nên `MN=1/2.100=50(cm)`

   Vậy `MN=50 cm`

`color(blue)(text(Chúc bạn học tốt))`

ADFMEBCN

a) Tứ giác AEFD là hình thoi, tứ giác AECF là hình bình hành (tự chứng minh).

b) Tứ giác AECF là hình bình hành nên EN // FM. Tứ giác AECF là hình bình hành nên EM // FN. AEFD là hình thoi nên AF ⊥⊥ DE.

Hình bình hành EMFN có 𝑀^=90𝑜M=90o nên là hình chữ nhật.

c) Hình chữ nhật EMFN là hình vuông

⇔⇔ ME = MF ⇔⇔ DE = AF (vì DE = 2ME, AF = 2MF)

⇔⇔ Hình thoi AEFD có hai đường chéo bằng nhau

⇔⇔ AEFD là hình vuông ⇔⇔ 𝐴^=90𝑜A=90o.

⇔⇔ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Như vậy, hình chữ nhật EMFN là hình vuông nếu ABCD là hình chữ nhật.