`a)` Xét `\triangle BAD` vuông tại `A` và `\triangle BED` vuông tại `E`

`{(BD  chung),(\hat{ABD} = \hat{EBD}  (\text{BD là đường phân giác góc ABE})):}`

`=> \triangle BAD = \triangle BED` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=> AB = BE` (2 cạnh tương ứng)

`b)` Ta có: `AB = BE (cmt)`

`=> \triangle ABE` cân tại `B`

mà `BD` là đường phân giác `\hat{ABE}`

`=> BD` đi qua trung điểm `AE` và vuông góc với `AE`

`=> BD` là trung trực của `AE`

`c)` Xét `\triangle CAB` và `\triangle MEB`

`{(AB = BE (cmt)),(\hat{MBC}  chung),(\hat{CAB} = \hat{MEB} = 90^@):}`

`=> \triangle CAB = \triangle MEB  (g - c - g)`

Xét `\triangle MDB` và `\triangle CDB`

`{(BD  chung),(\hat{ABD} = \hat{EBD}  (\text{BD là đường phân giác góc ABE})),(MB = BC  (\triangle CAB = \triangle MEB)):}`

`=> \triangle MDB = \triangle CDB  (c - g - c)`

`=> DM = DC` (2 góc tương ứng)

`d) \triangle ABE` cân tại `B  (cmt)`

mà `\hat{ABC} = 90^@ - \hat{ACB} = 90^@ - 30^@ = 60^@`

`=> \triangle ABE` đều

`=> \hat{EAB} = 60^@`

mà `\hat{EAB} + \hat{CAE} = 90^@`

`=> \hat{CAE} = 90^@ - 60^@ = 30^@`

mà `\hat{ACE} = 30^@`  (gt)

`=> \triangle ACE` cân tại `E`

`=> AE = CE`

mà `AE = EB (\triangle ABE` đều)

`=> AE = CE = EB`

mà `CE + EB = BC`

`=> E` là trung điểm `BC`

Ta có: `\hat{DMB} = \hat{DCB} = 30^@  (\triangle MDB = \triangle CDB)`

mà `\hat{DBM} = 30^@` (góc `ABC = 60^@` và `DB` là đường phân giác góc đó)

`\hat{DMB} = \hat{DBM}`

`=> \triangle DMB` cân tại `D`

mà `AD` là đường cao

`=> AD` là đường trung tuyến

mà `ME` là đường trung tuyến `\triangle CMB`

và `ME` cắt `AD` tại `D`

`=> D` là trọng tâm `\triangle CMB`

`=> DE = 1/3 ME`