Chúng ta có 2 cách giải: BẠN TỰ VẼ HÌNH

Cách 1:

a. Xét tam giác ABH và tam giác ACH có:

- Cạnh AH chung
- Góc BAH = góc CAH (vì AH là đường phân giác góc A)
- AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A)

Do đó, tam giác ABH bằng tam giác ACH (cạnh - góc - cạnh)

⇒ Góc AHB = góc AHC (góc tương ứng)

Mà góc AHB + góc AHC = 180 độ

⇒ Góc AHB = góc AHC = 180/2 = 90 độ

⇒ AH vuông góc với BC

b. Theo câu a, tam giác ABH bằng tam giác ACH

⇒ HB = HC mà H thuộc BC

⇒ H là trung điểm của BC

Cách 2:

a. Xét tam giác AHB và tam giác AHC có:

- ∠BAH = ∠CAH (vì AH là đường phân giác)
- AH chung
- AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A)

Do đó, tam giác AHB bằng tam giác AHC (cạnh - góc - cạnh)

Vì tam giác ABC cân tại A, AH là đường phân giác

⇒ AH là đường cao

⇒ AH vuông góc với BC

b. Vì tam giác ABC cân tại A, AH là đường phân giác

⇒ AH là đường trung tuyến

Xét tam giác ABC có:

- BD là đường trung tuyến
- AH là đường trung tuyến
- AH cắt BD tại G

⇒ G là trọng tâm của tam giác ABC

c. Xét tam giác BHG và tam giác CHG có:

- ∠BHG = ∠CHG = 90 độ
- BH = CH (vì AH là đường trung tuyến)
- GH chung

Do đó, tam giác BHG bằng tam giác CHG (cạnh - góc - cạnh)

⇒ ∠DBC = ∠KCB (2 góc tương ứng)

Xét tam giác DBC và tam giác KCB có:

- ∠B = ∠C (vì tam giác ABC cân tại A)
- BC chung
- ∠DBC = ∠KCB (chứng minh trên)

⇒ BK = DC (2 cạnh tương ứng)

Mà DC = 1/2 AC, AC = AB

⇒ BK = 1/2 AB hay K là trung điểm của AB

⇒ CK là đường trung tuyến

⇒ CK đi qua G

⇒ C, G, K thẳng hàng

⇒ AH là đường trung tuyến của tam giác ABC

Vì D là trung điểm của AC nên BD là đường trung trực của tam giác ABC

Từ (1) và (2) và G là giao điểm của AH và BD suy ra:

G là trọng tâm của tam giác ABC

c. Ta có góc AGC + góc CGH = 180 độ (vì ba điểm A, G, H thẳng hàng)

Mà góc CGH = góc AGH (đối đỉnh)

⇒ Góc CGK = góc AGC + góc AGH = 180 độ

Vậy góc CGK = 180 độ

⇒ Ba điểm C, G, K thẳng hàng