Đáp án+Giải thích các bước giải:

`5x^2 + 5y^2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0`

`<=> ( 4x^2 + 8xy + 4y^2 ) + ( x^2 - 2x + 1 ) + ( y^2 + 2y + 1 ) = 0`

`<=> ( 2x + 2y )^2 + ( x - 1 )^2 + ( y + 1 )^2 = 0`

`Do  ( 2x + 2y )^2 >= 0  AA  x ; y`

`( x - 1 )^2 >= 0  AA  x`

`( y + 1 )^2 >= 0  AA  y`

` Dấu = xảy   ra  <=> x = 1  và  y = -1` 

Khi đó:

`M = ( 1 - 1 )^2023 + ( 1 - 2 )^2024 + ( -1 + 1 )^2025`

`M = 0 + 1 + 0`

`M = 1`

`5x^2 + 5y^2 + 8xy - 2x + 2y + 2=0`

`=> 4x^2 + 8xy + 4y^2 + x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1=0`

`=> 4(x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1)=0`

`=> 4(x + y)^2 + (x-1)^2 + (y+1)^2 =0`

Ta có:

$\begin{cases} (x+y)^2 ≥ 0\\(x-1)^2 ≥ 0\\(y+1)^2 ≥ 0 \end{cases}$

$⇒ \begin{cases} 4(x+y)^2 ≥ 0\\(x-1)^2 ≥ 0\\(y+1)^2 ≥ 0 \end{cases}$

`⇒ 4(x + y)^2 + (x-1)^2 + (y+1)^2 ≥ 0`

Dấu bằng xảy ra khi:

$\begin{cases} (x+y)^2 = 0\\(x-1)^2 = 0\\(y+1)^2 = 0 \end{cases}$

$⇒ \begin{cases} x+y = 0\\x-1 = 0\\y+1 = 0 \end{cases}$

$⇒ \begin{cases} x=-y\\x=1\\y=-1\end{cases}$

$⇒ \begin{cases} 1=-(-1) \text{(luôn đúng)}\\x=1\\y=-1\end{cases}$

`=> x=1; y=-1`

Lại có:

`M = (x+y)^2023 + (x-2)^2024 + (y+1)^2025`

`= (1-1)^2023 + (1-2)^2024 + (-1+1)^2025`

`= 0^2023 + (-1)^2024 + 0^2025`

`= 0 + 1 + 0`

`=1`

Vậy `M=1`