Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)$ Xét $\Delta AMN$ và $\Delta ABC:$

$AM=AB\\ \widehat{MAN}=\widehat{BAC} (đ đ)\\ AN=AC\\ \Rightarrow \Delta AMN = \Delta ABC (c.g.c)\\ \Rightarrow MN=BC$

$b)$ Xét $\Delta AMC$ và $\Delta ABN:$

$AM=AB\\ \widehat{MAC}=\widehat{BAN} (đ đ)\\ AC=AN\\ \Rightarrow \Delta AMC = \Delta ABN (c.g.c)\\ \Rightarrow \widehat{C_1}=\widehat{N_1}$

$\Rightarrow NB // MC$ (hai góc so le trong bằng nhau)

$c) E$ là trung điểm của $MN, F$ là trung điểm $BC$

Mà $MN=BC$

$\Rightarrow NE=CF\\ \Delta AMN = \Delta ABC\\ \Rightarrow \widehat{N_2}=\widehat{C_2}$

Xét $\Delta NEA$ và $\Delta CFA:$

$NE=CF\\ \widehat{N_2}=\widehat{C_2}\\ NA=CA\\ \Rightarrow \Delta NEA = \Delta CFA (c.g.c)\\ \Rightarrow AE=AF, \widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

Ta có: $\widehat{A_1}+\widehat{EAC}=180^\circ$

$\Rightarrow \widehat{A_2}+\widehat{EAC}=180^\circ$

$\Rightarrow \widehat{EAF}=180^\circ$

$\Rightarrow E , A ,F$ thẳng hàng.