Đáp án + Giải thích các bước giải:

Bài $7$:

$1)$ Ta có:

$\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{3}{5}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AC}{15} = \dfrac{3}{5}$
$\Leftrightarrow AC = \dfrac{15 . 3}{5} = 9(cm)$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$AB^2 + AC^2 = BC^2($định lý Pytago$)$
$\Leftrightarrow AB^2 + 9^2 = 15^2$
$\Leftrightarrow AB^2 = 144$
$\Leftrightarrow AB = 12(cm)$

$2)$ Ta có:

$\cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5}{13}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AB}{13} = \dfrac{5}{13}$
$\Leftrightarrow AB = 5(cm)$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$AB^2 + AC^2 = BC^2($định lý Pytago$)$
$\Leftrightarrow 5^2 + AC^2 = 13^2$
$\Leftrightarrow AC^2 = 144$
$\Leftrightarrow AC = 12(cm)$

$3)$ Ta có:

$\tan B = \dfrac{AC}{AB} = \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow AC = AB\sqrt{3}$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$AB^2 + AC^2 = BC^2($định lý Pytago$)$

$\Leftrightarrow AB^2 + (AB\sqrt{3})^2 = 2^2$
$\Leftrightarrow 4AB^2 = 4$

$\Leftrightarrow AB^2 = 1$

$\Leftrightarrow AB = 1(cm)$

$\Rightarrow AC = AB\sqrt{3} = \sqrt{3}(cm)$

$4)$ Ta có:

$\cot B = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{9}{40}$

$\Leftrightarrow AB = \dfrac{9}{40}AC$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$AB^2 + AC^2 = BC^2($định lý Pytago$)$

$\Leftrightarrow \bigg(\dfrac{9}{40}AC\bigg)^2 + AC^2 = 41^2$

$\Leftrightarrow \dfrac{81}{1600}AC^2 + AC^2 = 1681$
$\Leftrightarrow \dfrac{1681}{1600}AC^2 = 1681$

$\Leftrightarrow AC^2 = 1600$

$\Leftrightarrow AC = 40(cm)$

$\Rightarrow AB = \dfrac{9}{40}AC = \dfrac{9}{40} . 40 = 9(cm)$

`1)` Ta có: `text(sinB) = (AC)/(BC) = 3/5`

`=> AC=3/5.BC`

`=> AC=(3/5).15`

`=> AC=9 (cm)`

Áp dụng định lí pitago trong tam giác vuông `ABC`, ta được:

`AB^2+AC^2 = BC^2`

`=> AB^2 = BC^2 - AC^2 = 15^2 - 9^2 = 144`

`=> AB = 12 (cm)`

`2)` Ta có: `text (cosB) = (AB)/(BC) = 5/13`

`=> AB=5/(13).13`

`=> AB=5 (cm)`

Áp dụng định lí pitago trong tam giác vuông ABC, ta được:

`AB^2+AC^2 = BC^2`

`=> AC^2 = BC^2 - AB^2 = 13^2 - 5^2 = 144`

`=> AC = 12 (cm)`

`3)` Ta có: `text(tanB) = (AC)/(AB) = \sqrt(3)`

Đặt `AC= \sqrt(3)a, AB=a (a>0)`

Áp dụng định lí pitago trong tam giác vuông ABC, ta được:

`AB^2+AC^2 = BC^2`

`=> (\sqrt(3)a)^2+a^2 = 2^2`

`=> 3a^2+a^2 = 4`

`=> 4a^2 = 4`

`=> a = 1 (a>0=> loại a = -1)`

`=> AC = \sqrt(3) cm, AB = 1 cm`

`4)` Ta có: `text(cotB) = (AB)/(AC) = 9/40`

Đặt `AB= 9a, AC= 40a (a>0)`

Áp dụng định lí pitago trong tam giác vuông ABC, ta được:

`AB^2+AC^2 = BC^2`

`=> (9a)^2+(40a)^2 = 41^2`

`=> 81a^2+1600a^2 = 1681`

`=> 1681a^2 = 1681`

`=> a = 1 (a>0=> loại a = -1)`

`=> AC = 40 cm, AB = 9 cm`