Giải thích các bước giải:

Giả thiết:

$\Delta ABC, \hat A=90^o, AB=AC$

$M\in BC,MB=MC=\dfrac12BC$

$N\in$ đoạn thẳng $BM$

$BP\perp AN, CQ\perp AN, P, Q\in AN$

Kết luận:

a.$BP=AQ$

b.$\Delta MPQ$ vuông cân

c.$F\in$ tia đối của tia $PB, PF=PB, FN\cap AB=E, K\in AN$. Tìm giá trị nhỏ nhất: $KE+KB$

Bài làm:

a.Xét $\Delta APB,\Delta ACQ$ có:

$\hat P=\hat Q(=90^o)$

$AB=AC$

$\widehat{PAB}=90^o-\widehat{QAC}=\widehat{ACQ}$

$\to \Delta ABP=\Delta CAQ$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to BP=AQ$

b.Ta có: $\Delta ABC$ vuông cân tại $A, M$ là trung điểm $BC\to AM\perp BC, \hat  B=\hat C=45^o$

$\to \Delta AMB,\Delta AMC$ vuông cân tại $M$

$\to MA=MB, MA=MC$

Từ câu a $\to AQ=BP, \widehat{QAC}=\widehat{ABP}$

Xét $\Delta AMQ, \Delta BMP$ có:

$MA=MB$

$\widehat{QAM}=\widehat{QAC}-\widehat{MAC}=\widehat{QAC}-45^o=\widehat{ABP}-\widehat{ABM}=\widehat{MBP}$

$AQ=BP$

$\to \Delta MAQ=\Delta MBP(c.g.c)$

$\to MQ=MP,\widehat{AMQ}=\widehat{BMP}\to \widehat{PMQ}=\widehat{BMP}+\widehat{BMQ}=\widehat{AMQ}+\widehat{BMQ}=\widehat{AMB}=90^o$

$\to \Delta MPQ$ vuông cân tại $M$

c.Ta có: $AP\perp BF$ tại $P$ là trung điểm $BF$

$\to AP$ là trung trực $BF$

Mà $K\in AP\to KB=KF$

$\to KE+KB=KE+KF\ge EF$

Dấu = xảy ra khi $K$ trùng $N$