Đáp án:

 `D.`   $ 29 cm$

Giải thích các bước giải:

Cập nhật đề: Nâng hệ của vật theo phương thẳng đứng đến khi lò xo có chiều dài 38cm rồi thả nhẹ. 

      `l_0 = 40 (cm) = 0,4 (m)`

      `m_1 = m_2 = 200 (g) = 0,2 (kg)`

      `l_1 = 44 (cm) = 0,44 (m)`

      `l_2 = 38 (cm)`

Độ cứng của lò xo là $k (N/m)$.

Ta có:

      `(m_1 + m_2)g = k(l_1 - l_0)`

`<=> k = [2m_1g]/[l - l_0] = [2.0,2.10]/[0,44 - 0,4] = 100` $(N/m)$

⊕

Trong giai đoạn `m_1,m_2` dính vào nhau. Hệ vật dao động điều hóa với tần số góc là:

      `\omega = \sqrt[k/[m_1 + m_2]] = \sqrt[100/[2.0,2]] = 5pi` $(rad/s)$

Chọn gốc tọa độ tại $VTCB$, mốc thời gian lúc thả nhẹ hệ vật, chiều dương của trục tọa độ hướng xuống dưới.

Li độ ban đầu của hệ là:

       `x_0 = l_2 - l_0 = 38 - 44 = - 6 (cm)`

Ban đầu vận tốc của hệ bằng 0 `to A = |- x_0| = 6 (cm)` và `\varphi_0 = pi (rad)`

Phương trình li độ của hệ là:

      `x = A cos(\omegat + \varphi_0)`

         `= 6cos(5pit + pi)     (cm)`

         `= 0,06cos(5pit + pi)     (mm)`

Xét các lực tác dụng lên vật `m_1` gồm:

      `\vec[P], \vec[F_[21]]` luôn có phương thẳng đứng, chiều từ trên xuống dưới.

      `\vec[F_[đh]]` có:

              `F_[đh] = - k(l_1 - l_0 + x) = - (m_1 + m_2)g - kx`

Từ định luật II Newton, ta có:

      `\vec[F_[đh]] + \vec[P_1] + \vec{F_{21}} = m_1\vec[a]`

`=> - (m_1 + m_2)g - kx + m_1g + F_[21] = - m_1/[m_1 + m_2]. kx`

`=> F_[21] = m_2g + [kx.m_2]/[m_1+m_2]`

             `= 0,2.10 + [100.0,06cos(5pit + pi) .0,2]/[0,2 + 0,2]`

             `= 2 + 3cos(5pit + pi)    (N)`

Hai vật tách nhau khi:

       `F_[21] = 2 + 3cos(5pit + pi) = 3,5 (N)`

`=> cos(5pit + pi) = 0,5`

`=> 5pit + pi = - pi/3 + k2pi`

`=> t = - 1/15 - 1/5 + [2k]/5 = - \frac{4}{15} + \dfrac{2k}{5}`

Chọn `k = 1 to t_1 = 2/15 (s)` là thời điểm hai vật tách nhau ra.

Li độ và vận tốc của hệ vật lúc đó là:   

        `x_1 = 6cos(5pit_1 + pi) = 6cos(5pi. 2/15 + pi) = 3 (cm)`

        `v_1 = A\omega cos(5pit_1 + pi + pi/2)`

             `= 6.5pi cos(5pi. 2/15 + pi + pi/2)`

             `= 15\sqrt[3] pi` $(cm/s)$

⊕

Giai đoạn hai vật đã tách nhau ra, VTCB mới cách VTTN là:

        `\Deltal_0' = [m_1g]/k = [0,2.10]/100 `

                `= 0,02 (m) = 2 (cm)`

`=>` VTCB mới nằm trên VTCB cũ một đoạn là:

        `\Deltad = (l_1 - l_0) - \Deltal_0' = 4 - 2 = 2 (cm)`

Li độ ban đầu của vật `m_1` so với VTCB mới đó là:

        `x_0' = x_1 + \Deltad = 3 + 2 = 5 (cm) `

Tần số góc của dao động vật $m_1$ là:

        `\omega' = \sqrt[k/m_1] = \sqrt[100/[0,2]] = 10\sqrt[5]` $(rad/s)$

Biên độ dao động của vật `m_1` sau đó là:

        `A' = \sqrt[x_0'^2 + (v_1/[\omega'])^2] `

           `= \sqrt[5^2 +  ([15\sqrt[3] pi]/[10\sqrt[5]])^2]`

           `= \sqrt[154]/2 (cm)`

Chọn gốc tọa độ tại VTCB mới, mốc thời gian lúc hai vật tách nhau ra, trục tọa độ hướng thẳng xuống dưới.

Pha ban đầu của vật `m_1` là `\varphi`.

   Ta có:

        `Acos\varphi = x_0'`

`<=> \sqrt[154]/2 cos\varphi = 5`    $(1)$

        `- A\omega' sin\varphi = v_1`

`<=> - \sqrt[154]/2 sin\varphi = 15\sqrt[3] pi`     $(2)$

Từ `(1), (2) => \varphi ≈ - 0,6337 (rad)`

Phương trình dao động của vật `m_1` và phương trình chuyển động của vật `m_2` là:

        `x_1' = A' cos(\omega't + \varphi)`

           `= \sqrt[154]/2 cos(10\sqrt[5]t - 0,6337)     (cm)`

        `x_2' = x_0' + v_1t + 1/2 g t^2`

             `= 5 + 15\sqrt[3] pi t + 1/2 .1000 t^2`

             `= 5 + 15\sqrt[3] pi t + 500 t^2`      `(cm)`

Thời điểm `m_1` qua vị trí lò xo có chiều dài $38cm$ là:

        `x_1' = l_2 - (l_0 + \Deltal_0') = 38 - (40 + 2) = - 4 (cm)`

`<=> \sqrt[154]/2 cos(10\sqrt[5]t - 0,6337) = - 4`

`<=> 10\sqrt[5]t - 0,6337 ≈ ± 2,2714 + m2pi`

Thời điểm `m_1` qua vị trí lò xo có chiều dài $38cm$ lần đầu tiên là `t_2 (s)` ứng với `m = 0` trong trường hợp lấy dấu $"+"$ trong biểu thức trên.

        `10\sqrt[5]t_2 - 0,6337 = 2,2714`

`<=> t_2 ≈ 0,12992 (s)`

Tọa độ của vật `m_2` khi đó là:

        `x_2' = 5 + 15\sqrt[3] pi t_2 + 500 t_2^2` 

              `= 5 + 15\sqrt[3] pi . 0,12992 + 500.0,12992^2`

              `≈ 24 (cm)`

Khi đó, khoảng cách giữa hai vật là:

        `d = x_2' - x_1' = 24 - (- 4) = 28 (cm)`

`to` Đáp án $D. 29cm$ gần nhất với giá trị $d = 28 (cm)$.

              `to` Chọn $D$