Đáp án + Giải thích các bước giải:

$(C): y = x^3 - 3x^2 + 4$

a) $y = 0 \Leftrightarrow x^3 - 3x^2 + 4 =0 $

$\Leftrightarrow x^3 - 2x^2 - x^2 + 4 = 0$

$\Leftrightarrow x^2(x - 2) - (x + 2)(x - 2) = 0$

$\Leftrightarrow (x^2 - x - 2)(x - 2) = 0$

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=2\end{array} \right.\) 

$\Rightarrow (C)$ cắt trục hoành tại $2$ điểm phân biệt

$\Rightarrow$ Sai

b) Tâm đối xứng của đồ thị $(C)$ là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $y'' = 0$

Ta có: $y'' = 6x - 6$

$\Rightarrow y'' = 0 \Leftrightarrow 6x - 6 = 0$
$\Leftrightarrow x = 1$
$\Rightarrow$ Tâm đối xứng của đồ thị $(C)$ là $I(1; y(1)) = I(1; 2)$

$\Rightarrow a = 1$, $b = 2$
$\Rightarrow a + b = 3$
$\Rightarrow$ Đúng

c) $y' = 3x^2 - 6x$

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x = 3$ là:
$y'(3)(x - 3) + y(3) = 9(x - 3) + 4 = 9x - 23$

$\Rightarrow$ Tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x = 3$ đi qua $(0; -23)$
$\Rightarrow$ Sai

d) Ta có: $y' = 3x^2 - 6x$

$= 3x^2 - 6x + 3 - 3$
$= 3(x - 1)^2 - 3 \ge -3$ với mọi $x$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow x = 1$
$\Rightarrow y'$ có giá trị nhỏ nhất bằng $-3$ tại $x = 1$

$\Rightarrow$ Tiếp tuyến của $(C)$ có hệ số góc nhỏ nhất là $-3$
$\Rightarrow$ Đúng

D