Bốn tam giác $\triangle AMQ$, $\triangle BNM$, $\triangle CPN$, $\triangle ADQP$ bằng nhau.

$\Rightarrow QM = MN = NP = PQ \Rightarrow$ Tứ giác $QMNP$ là hình thoi.

Chứng minh được góc $AMQ$ $+$ góc $BMN = 90^\circ \Rightarrow$ góc $QMN = 90^\circ$

$\Rightarrow$ Tứ giác $QMNP$ là hình vuông.

Ta có: `AQ=1/2AD` (`Q` là trung điểm `AD`)

`BN=1/2BC` (`N` là trung điểm `BC`)

mà `AD = BC`  (`ABCD` là hình vuông)

`=> AQ = BN`

Xét `\triangle AMQ` vuông tại `A` và `\triangle BMN` vuông tại `B`

`{(AQ = BN  (cmt)),(AM = MB  \text{(M là trung điểm AB)}):}`

`=> \triangle AMQ = \triangle BMN` (2 cạnh góc vuông)

`=> MQ = MN`

`=> \hat{AMQ} = \hat{BMN} = 45^@`  (`\triangle AMQ` vuông cân tại `A`, `\triangle BMN` vuông cân tại `B`)

`=> \hat{QPN} = 180^@ - \hat{AMQ} - \hat{BMN} = 180^@ - 45^@ - 45^@ = 90^@`

C/m tương tự ta có: `MQ = MN = PN = QP`

`=> MNPQ` là hình thoi

mà `\hat{QPN} = 90^@  (cmt)`

`=> MNPQ` là hình thoi