Đáp án:

Để cường độ điện trường tổng hợp tại `M` đạt cực đại thì `x=\sqrt2 (cm)` 

Giải thích các bước giải:

Gọi `H` là trung điểm `AB`
`=> AH = {AB}/2 = 4/2 = 2cm`
Đặt `AH = a`
Vì `MH` là đường trung trực `AB` nên `MH\botAB`
Ta có: `AM^2 = AH^2 + HM^2= a^2 + x^2`
Độ lớn cường độ điện trường do hai điện tích `q_1,q_2` tác dụng tại `M`:
`E_{1M} = E_{2M} = {k|q_1|}/{AM^2} = {k|q_1|}/{a^2 + x^2}`
(`E_{1M} = E_{2M}` vì `AM = BM` và `q_1=q_2`)
Cường độ điện trường tổng hợp tác dụng tại điểm `M`:
`\vec{E_M} = \vec{E_{1M}} + \vec{E_{2M}}`
Mà `E_{1M} = E_{2M}`
`=> E_M = 2E_{1M} cos``{(\vec{E_{1M}},\vec{E_{2M}})}/{2}`
`= 2E_{1M} cos``{\hat{AMB})/{2}`
`= 2E_{1M}cos\hat{AMH}`
`= 2. {k|q_1|}/{a^2 + x^2} . x/{\sqrt{a^2 + x^2 }}`
`= {2k|q_1|x}/{\sqrt{(a^2 + x^2)^3}}`
`<=> \sqrt{(a^2 + x^2)^3} = {2k|q_1|x}/E_M`
Ta có: `AM^2 = a^2 + x^2 = {a^2}/2 + {a^2}/2 + x^2>=3\root{3}{{a^2}/2 . {a^2}/2 . x^2}`
(Bất đẳng thức Cauchy)
`<=> a^2 + x^2 >= 3\root{3}{{a^4x^2}/4}`
`<=> (a^2+x^2)^3 >= {27a^4x^2}/4`
`<=> \sqrt{(a^2+x^2)^3} >=  {3\sqrt3 a^2x}/2`
`<=> {2k|q_1|x}/{E_M} >= {3\sqrt3 a^2x}/2`
`<=> E_M <= {4k|q_1|x}/{3\sqrt3a^2x}={4k|q_1|}/{3\sqrt3a^2}`
Dấu "=" xảy ra khi `x^2 = a^2/2 <=> x = {a\sqrt2}/2 = {2\sqrt2}/2 = \sqrt2 (cm)`
Vậy cường độ điện trường tổng hợp tại `M` đạt cực đại khi `x=\sqrt2 (cm)`