Giải thích các bước giải:

1.Ta có: $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

2.Xét $\Delta KBF,\Delta KEC$ có:

Chung $\hat K$

$\widehat{KFB}=\widehat{BCE}=\widehat{KCE}$

$\to \Delta KBF\sim\Delta KEC(g.g)$

$\to \dfrac{KB}{KE}=\dfrac{KF}{KC}$

$\to KE\cdot KF=KB\cdot KC$

3.Xét $\Delta KGB,\Delta KAC$ có:

Chung $\hat K$

$\widehat{KGB}=\widehat{ACB}=\widehat{KCA}$

$\to\Delta KBG\sim\Delta KAC(g.g)$

$\to \dfrac{KB}{KA}=\dfrac{KG}{KC}$

$\to KG\cdot KA=KB\cdot KC=KE\cdot KF$

$\to \dfrac{KG}{KE}=\dfrac{KF}{KA}$

Mà $\widehat{GKF}=\widehat{AKE}$

$\to \Delta KGF\sim\Delta KEA(c.g.c)$

$\to \widehat{KGF}=\widehat{KEA}=\widehat{AEF}$

$\to AEFG$ nội tiếp

Mà $\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^o\to AEHF$ nội tiếp

$\to A, G, F, H, E$ cùng thuộc một đường tròn

4.Kẻ $AJ$ là đường kính của $(O)\to \widehat{JBA}=\widehat{JCA}=90^o\to JB\perp AB, JC\perp AC$

$\to JB//HC, JC//HB$

$\to BHCJ$ là hình bình hành

$\to HJ\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường

Do $I$ là trung điểm $BC\to I$ là trung điểm $HJ$

$\to H, J, I$ thẳng hàng

Từ 3 $\to \widehat{AGH}=\widehat{AFH}=9)^o\to HG\perp AG$

Vì $AJ$ là đường kính của $(O)\to \widehat{AGJ}=90^o\to JG\perp AG$

$\to G, H, J$ thẳng hàng

$\to G, H, I, J$ thẳng hàng

$\to HI\perp GA\to HI\perp AK$