Đáp án+ Giải thích các bước giải:

a) Ta có: $M$ là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow AM = \dfrac{BC}{2} = MB = MC$

$\Rightarrow \Delta ABM$ và $\Delta ACM$ cân tại $M$

Mà $MD$, $ME$ lần lượt là đường cao của $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$

$\Rightarrow MD$, $ME$ cũng là đường trung tuyến của $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$

$\Rightarrow D, E$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$

Xét $\Delta ABM$, ta có:
$\begin {cases} D\text{ là trung điểm của } AB \\ I \text{ là trung điểm của }MB \end {cases}$
$\Rightarrow DI$ là đường trung bình của $\Delta ABM$

$\Rightarrow DI // AM, DI = \dfrac{1}{2}AM(1)$

Xét $\Delta ACM$, ta có:
$\begin {cases} E\text{ là trung điểm của } AB \\ K \text{ là trung điểm của }MC \end {cases}$
$\Rightarrow EK$ là đường trung bình của $\Delta ACM$

$\Rightarrow EK // AM, EK = \dfrac{1}{2}AM(2)$

Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow \begin {cases} DI // EK \\ DI = EK \end {cases}$
$\Rightarrow DIKE$ là hình bình hành

b) Để $DIKE$ là hình chữ nhật thì $\widehat{DIK} = 90^o$

Mà $DI // AM \Rightarrow \widehat{AMK} = 90^o$

$\Rightarrow AM$ là đường cao của $\Delta ABC$

Mà $AM$ là trung tuyến của $\Delta ABC$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông cân

Vậy để $DIKE$ là hình chữ nhật thì $\Delta ABC$ vuông cân