Để giải các bài toán tìm số nguyên \(x\) sao cho biểu thức là số nguyên, ta cần tìm các giá trị của \(x\) để biểu thức nguyên dạng. Dưới đây là các bước giải chi tiết cho từng bài:

**Bài 3**

a) \( \frac{4x-5}{x-2} \)

Ta cần \(\frac{4x-5}{x-2}\) là số nguyên, tức là tồn tại số nguyên \(k\) sao cho:

\[ \frac{4x-5}{x-2} = k \]

Nhân hai vế với \(x-2\):

\[ 4x - 5 = k(x - 2) \]

\[ 4x - 5 = kx - 2k \]

\[ 4x - kx = 5 - 2k \]

\[ x(4 - k) = 5 - 2k \]

Do đó:

\[ x = \frac{5 - 2k}{4 - k} \]

Để \(x\) là số nguyên, thì \( \frac{5 - 2k}{4 - k} \) phải là số nguyên. Kiểm tra các giá trị của \(k\):

- Với \( k = 1 \): \( x = \frac{5 - 2 \cdot 1}{4 - 1} = 1 \)
- Với \( k = 2 \): \( x = \frac{5 - 2 \cdot 2}{4 - 2} = 0 \)
- Với \( k = -1 \): \( x = \frac{5 - 2 \cdot (-1)}{4 - (-1)} = \frac{7}{5} \) (không phải số nguyên)

Vậy \(x\) có thể là 1 hoặc 0.

b) \( \frac{2x+3}{x-3} \)

Ta cần \(\frac{2x+3}{x-3}\) là số nguyên, tức là tồn tại số nguyên \(k\) sao cho:

\[ \frac{2x+3}{x-3} = k \]

Nhân hai vế với \(x-3\):

\[ 2x + 3 = k(x - 3) \]

\[ 2x + 3 = kx - 3k \]

\[ 2x - kx = -3k - 3 \]

\[ x(2 - k) = -3(k + 1) \]

Do đó:

\[ x = \frac{-3(k + 1)}{2 - k} \]

Để \(x\) là số nguyên, thì \( \frac{-3(k + 1)}{2 - k} \) phải là số nguyên. Kiểm tra các giá trị của \(k\):

- Với \( k = -1 \): \( x = \frac{-3(-1 + 1)}{2 - (-1)} = 0 \)
- Với \( k = 2 \): \( x = \frac{-3(2 + 1)}{2 - 2} \) (không xác định vì mẫu bằng 0)
- Với \( k = 1 \): \( x = \frac{-3(1 + 1)}{2 - 1} = -6 \)

Vậy \(x\) có thể là 0 hoặc -6.

**Bài 4**

a) \( \frac{4x-5}{x-2} \)

Bài này giống bài 3a, đã giải phía trên.

b) \( \frac{2x+3}{x-3} \)

Bài này giống bài 3b, đã giải phía trên.

**Bài 5**

a) \( \frac{2x-3}{x+1} \)

Ta cần \(\frac{2x-3}{x+1}\) là số nguyên, tức là tồn tại số nguyên \(k\) sao cho:

\[ \frac{2x-3}{x+1} = k \]

Nhân hai vế với \(x+1\):

\[ 2x - 3 = k(x + 1) \]

\[ 2x - 3 = kx + k \]

\[ 2x - kx = k + 3 \]

\[ x(2 - k) = k + 3 \]

Do đó:

\[ x = \frac{k + 3}{2 - k} \]

Để \(x\) là số nguyên, thì \( \frac{k + 3}{2 - k} \) phải là số nguyên. Kiểm tra các giá trị của \(k\):

- Với \( k = 1 \): \( x = \frac{1 + 3}{2 - 1} = 4 \)
- Với \( k = -1 \): \( x = \frac{-1 + 3}{2 - (-1)} = \frac{2}{3} \) (không phải số nguyên)
- Với \( k = 2 \): \( x = \frac{2 + 3}{2 - 2} \) (không xác định vì mẫu bằng 0)

Vậy \(x\) có thể là 4.

b) \( \frac{3x+5}{2} \)

Để biểu thức này là số nguyên, thì tử số \(3x + 5\) phải chia hết cho 2. Tức là:

\[ 3x + 5 \equiv 0 \pmod{2} \]

\[ 3x \equiv -5 \pmod{2} \]

\[ 3x \equiv 1 \pmod{2} \]

Vì \(3 \equiv 1 \pmod{2}\), ta có:

\[ x \equiv 1 \pmod{2} \]

Do đó, \(x\) là số lẻ.

c) \( \frac{x^2 - 7x + 3}{3x - 1} \)

Ta cần \(\frac{x^2 - 7x + 3}{3x - 1}\) là số nguyên, tức là tồn tại số nguyên \(k\) sao cho:

\[ \frac{x^2 - 7x + 3}{3x - 1} = k \]

Nhân hai vế với \(3x - 1\):

\[ x^2 - 7x + 3 = k(3x - 1) \]

\[ x^2 - 7x + 3 = 3kx - k \]

\[ x^2 - (7 + 3k)x + (3 + k) = 0 \]

Đây là phương trình bậc hai với \(x\), ta cần giải để tìm các giá trị nguyên của \(x\).

**Bài 6**

Tìm số nguyên \(x\) để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó: 

\[ P = \frac{x+1}{2x-2} \]

Đặt \( P