Ta có : `n^5 - n`

`= n ( n^4 - 1 )`

`= n ( n^2 - 1 ) ( n^2 + 1 )`

`= n ( n - 1 ) ( n + 1 ) [ ( n^2 - 4 ) + 5 ]`

`= n ( n- 1)(n+1) ( n-2)(n+2) + 5n(n+1)(n-1)`

Vì `n ( n- 1)(n+1) ( n-2)(n+2)` là tích `5` số nguyên liên tiếp 

`=>` Có `1` số chia hết cho `2` , `1` số chia hết cho `3` và `1` số chia hết cho `5`

Mà `(2;3;5) = 1` `=> n ( n- 1)(n+1) ( n-2)(n+2) \vdots 2.3.5 = 30`

Vì `n ( n + 1 ) ( n - 1 )` là tích `3` số nguyên liên tiếp :

`=>` Có `1` số chia hết cho `2` , `1` số chia hết cho `3`

Mà `( 2 ; 3 ) = 1 => n(n-1)(n+1) \vdots 2.3=6`

`=> 5 n(n-1)(n+1) \vdots 30`

Từ đó suy ra : `n^5 - n \vdots 30`

`=> ( 2^(3n+1) + 2^n ) ( n^5 - n ) \vdots 30` `( đpcm)`

`(2^(3n+1)+2^n)(n^5 - n)`

Xét `n^5-n= n(n^4 - 1)`

`= n(n^2 - 1)(n^2 + 1)`

`= n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)`

`= n(n - 1)(n + 1)(n^2 - 4 + 5)`

`= n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) + 5n(n - 1)(n +1)`

Vì `n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2)` là tích của `5` số liên tiếp nên `n(n -1)(n + 1)(n - 2)(n + 2)\vdots5`

Mà `5n(n - 1)(n +1) \vdots5`

`=>n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) + 5n(n - 1)(n +1)⋮5  (1)`

Lại có `n(n - 1)(n + 1)` là tích của `3` số liên tiếp nên chia hết cho `2` và `3`

`=>n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) + 5n(n -1)(n +1)⋮6  (2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=>n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) + 5n(n - 1)(n +1)⋮30`

`=>n^5-n\vdots 30`

`=>(2^(3n+1)+2^n)(n^5 - n)\vdots30`