Cho hình chữ nhật ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.( giải theo 2 cách nếu có thể )
Cho hình chữ nhật ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.( giải theo 2 cách nếu có thể )
Lời giải 1 :
Đáp án + Giải thích các bước giải:
Cách 1:
Xét $\Delta ACD$, ta có:
$\begin {cases} P\text{ là trung điểm của }AB \\ Q\text{ là trung điểm của } AD \end {cases}$
$\Rightarrow PQ$ là đường trung bình của $\Delta ACD$
$\Rightarrow PQ // AC, PQ = \dfrac{1}{2}AC(1)$
Xét $\Delta ABC$, ta có:
$\begin {cases} M\text{ là trung điểm của }AB \\ N\text{ là trung điểm của } BC \end {cases}$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$
$\Rightarrow MN // AC, MN = \dfrac{1}{2}AC(2)$
Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow MN = PQ = \dfrac{1}{2}AC$
Xét $\Delta ABD$, ta có:
$\begin {cases} M\text{ là trung điểm của }AB \\ Q\text{ là trung điểm của } AD \end {cases}$
$\Rightarrow MQ$ là đường trung bình của $\Delta ABD$
$\Rightarrow MQ // BD, MQ = \dfrac{1}{2}BD(3)$
Xét $\Delta CBD$, ta có:
$\begin {cases} N\text{ là trung điểm của }BC \\ P\text{ là trung điểm của } CD\end {cases}$
$\Rightarrow NP$ là đường trung bình của $\Delta CBD$
$\Rightarrow NP // BD, NP = \dfrac{1}{2}BD(4)$
Từ $(3)$ và $(4) \Rightarrow MQ = NP = \dfrac{1}{2}BD$
Mà $AC = BD (ABCD$ là hình chữ nhật$)$
$\Rightarrow MN = PQ = MQ = NP$
Xét tứ giác $MNPQ$, có $MN = PQ = MQ = NP$
$\Rightarrow MNPQ$ là hình thoi $($tứ giác có $4$ cạnh bằng nhau$)$
Cách 2:
Xét $\Delta ACD$, ta có:
$\begin {cases} P\text{ là trung điểm của }AB \\ Q\text{ là trung điểm của } AD \end {cases}$
$\Rightarrow PQ$ là đường trung bình của $\Delta ACD$
$\Rightarrow PQ // AC, PQ = \dfrac{1}{2}AC(1)$
Xét $\Delta ABC$, ta có:
$\begin {cases} M\text{ là trung điểm của }AB \\ N\text{ là trung điểm của } BC \end {cases}$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$
$\Rightarrow MN // AC, MN = \dfrac{1}{2}AC(2)$
Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow MN = PQ = \dfrac{1}{2}AC, MN // PQ$
Xét tứ giác $MNPQ$, ta có:
$\begin {cases} MN = PQ \\ MN // PQ\end {cases}$
$\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành $($tứ giác có $1$ cặp cạnh đối song song và bằng nhau$)$
Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow MN = PQ = \dfrac{1}{2}AC$
Xét $\Delta ABD$, ta có:
$\begin {cases} M\text{ là trung điểm của }AB \\ Q\text{ là trung điểm của } AD \end {cases}$
$\Rightarrow MQ$ là đường trung bình của $\Delta ABD$
$\Rightarrow MQ // BD, MQ = \dfrac{1}{2}BD$
Mà $AC = BD (ABCD$ là hình chữ nhật$)$
$\Rightarrow MN = MQ$
Xét hình bình hành $MNPQ$, có $MN = MQ$
$\Rightarrow MNPQ$ là hình thoi $($hình bình hành có $2$ cạnh kề bằng nhau$)$
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống, toán học là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ". Hãy kiên trì và không ngừng nỗ lực trong việc chinh phục những con số và công thức này!
Nguồn :
Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự lớp 8
Lớp 8 - Năm thứ ba ở cấp trung học cơ sở, học tập bắt đầu nặng dần và sang năm lại là năm cuối cấp, áp lực lớn dần. Hãy chú ý đến sức khỏe, cân bằng giữa học và nghỉ ngơi để đạt hiệu quả tốt nhất!
Nguồn :
sưu tậpCopyright © 2021 HOCTAPSGK