Đáp án + Giải thích các bước giải:

`f'(x) = 0 <=> [(x = 2),(x = - 3):}`

Đặt `u = x^{3} - 3x^{2} - 9x + m`

`u' = 3x^{2} - 6x - 9 = 0 <=> [(x = 3),(x = - 1):}`

BBT:

$\color{#FA8072}{\text{___}}$ $\color{#F28D84}{\text{___}}$ $\color{#EFAE98}{\text{___}}$ $\color{#E7C2AB}{\text{___}}$ $\color{#DFD6BF}{\text{___}}$ $\color{#D7E9D3}{\text{___}}$ $\color{#CFFDD7}{\text{___}}$ $\color{#C7FBEA}{\text{___}}$ $\color{#BFF9FE}{\text{___}}$ $\color{#B7F8F7}{\text{___}}$ $\color{#AFF6EC}{\text{___}}$ $\color{#A7F5DF}{\text{___}}$ $\color{#9FF3D2}{\text{___}}$ $\color{#97F2C5}{\text{___}}$ $\color{#8FF1B9}{\text{___}}$ $\color{#87F0AC}{\text{___}}$ $\color{#7FEFA0}{\text{___}}$ $\color{#77ED93}{\text{___}}$

(Hình ảnh)

$\color{#FA8072}{\text{___}}$ $\color{#F28D84}{\text{___}}$ $\color{#EFAE98}{\text{___}}$ $\color{#E7C2AB}{\text{___}}$ $\color{#DFD6BF}{\text{___}}$ $\color{#D7E9D3}{\text{___}}$ $\color{#CFFDD7}{\text{___}}$ $\color{#C7FBEA}{\text{___}}$ $\color{#BFF9FE}{\text{___}}$ $\color{#B7F8F7}{\text{___}}$ $\color{#AFF6EC}{\text{___}}$ $\color{#A7F5DF}{\text{___}}$ $\color{#9FF3D2}{\text{___}}$ $\color{#97F2C5}{\text{___}}$ $\color{#8FF1B9}{\text{___}}$ $\color{#87F0AC}{\text{___}}$ $\color{#7FEFA0}{\text{___}}$ $\color{#77ED93}{\text{___}}$

Hàm số có `1` điểm cực trị trong khoảng `(0;4)`

`=>` cần có `2` nghiệm đơn: `[(u = 2),(u = - 3):}`

TH1: `{(m > 2),(- 3 \ge m - 20):}`

`<=> 2 < m \le 17`

Mà `m in ZZ,` nên

`=> m \in {3;...;17}`

TH2: `{(m - 20 > 2),(2 > m - 27),(m - 27 \ge - 3):}`

`<=> 24 \le m < 29`

Mà `m \in ZZ,` nên

`=> m \in {24;...;28}`

`=> S = \sum_{3}^{17} m + \sum_{24}^{28} m = 280`

Vậy tổng các phần tử của `S` là: `280`

$\color{#FA8072}{\text{$\textit{$\circ$ hungnguyen4269}$}}$

Ta có:

`f'(x)=0`

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-3\end{array} \right.\) 

`g(x)=f(x³-3x²-9x+m)`

`g'(x)=(3x²-6x-9)f'(x³-3x²-9x+m)`

`g'(x)=0`

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}3x²-6x-9=0\\f'(x³-3x²-9x+m)=0\end{array}\right.\) 

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=3\\x=-1(l, vì ∉(0,4)\\x³-3x²-9x+m=2\\x³-3x²-9x+m=-3\end{array} \right.\) 

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=3\\-x³+3x²+9x+2=m\\-x³+3x²+9x-3=m\end{array} \right.\) 

Xét hai hàm số `y=-x³+3x²+9x+2` (đỏ) và `y=-x³+3x²+9x-3` (xanh) trên `(0,4)`

Để `g(x)` có đúng ba điểm cực trị thuộc khoảng `(0,4)` thì `-x³+3x²+9x+2=m` và `-x³+3x²+9x-3=m` phải có đúng `2` nghiệm phân biệt

Dựa vào bảng biến thiên (dưới)

`=>` \(\left[ \begin{array}{l}24≤m<29\\2<m≤17\end{array} \right.\)

Vì `m∈Z`

`=>m={3,4...17,24,25...28}`

Tổng các giá trị của `m` là

`\sum_{m=3}^{17}m+\sum_{m=24}^{28}m=150+130=280`