Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Giả sử ta có một đường thẳng `d` đi qua cạnh `AB` và cắt `AB` tại `M ;` đi qua `CD` và cắt `CD` tại `N`

`-` Dựng đường trung bình `XY` với `XY //// AB //// CD` và `XY times d` tại `P`

`-` Vì `d` thỏa mãn tính chất `(1)` nên `d` chia `ABCD` thành hai hình thang vuông

Không mất tính tổng quát ta giả sử `S_(BMNC) > S_(ADNM)`

Từ tính chất `(2) -> (1/2 . BC(MB+NC))/(1/2 . AD( AM + DN )) = 1/2`

`-> (MB+NC)/(AM+DN) = 1/2`

`-> (XP)/(YP) = 1/2`

mà `XP + YP = XY -> XP = 1/3XY ; YP = 2/3XY`

Tương tự với trường hợp `S_(BMNC) < S_(ADNM)` và `d` đi qua `AD` và `BC` ta thu được thêm `3` điểm nữa

`-> 2025` đường thẳng trên chỉ đi qua `4` điểm, theo nguyên lý Dirichlet thì luôn tồn tại `507` đường thẳng đồng quy `(` ĐPCM `)`

Kí hiệu như hình.

`M,N,P,Q` lần lượt là các trung điểm.

Đường `d_1` thoả mãn điều kiện bài toán.

Theo đề ta có: 

\(\dfrac{S_{HBCK}}{S_{KDAH}}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}(HB+KC).BC}{\dfrac{1}{2}(DK+AH).AD}=\dfrac{IN}{IQ}\\\Rightarrow NI=\dfrac{1}{3}NQ\)

Tương tự ta tìm được các điểm màu đỏ như hình vẽ.

Cứ `2025` đường thẳng mà luôn qua 4 điểm cố định trên nên theo nguyên lí Drichle sẽ có `507` đường thẳng đồng quy.