TH1: $x=0$ suy ra $y=0$ dẫn đến $z=0$.

TH2: $z=0$ suy ra $x=0$ dẫn đến $y=0$.

TH3: $y=0;x>0;z>0$ suy ra $(x+1)(x^2-x+1)=3^{2z}$.

Xét $x=1$ không thỏa mãn.

Xét $x \geq 2$ thì $x^2-x+1 \geq x+1$, kết hợp $3$ là số nguyên tố

Suy ra $x+1|x^2-x+1$ nên $x+1|3$ do đó $x=2$ dẫn đến $z=1$.

TH4: $x,y,z>0$.

Ta có: $x^3=(3^z+2^y)(3^z-2^y)$.

Nếu gọi $d=(3^z+2^y;3^z-2^y)$ thì $d$ lẻ.

Mà $d|2.2^y$ nên $d=1$.

Do đó tồn tại các số nguyên dương $a>b$ sao cho $3^z+2^y=a^3;3^z-2^y=b^3$.

Dễ thấy $a,b$ cùng lẻ.

Ta có $2^{y+1}=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ và $a^2+ab+b^2>a-b$

Suy ra $a-b|a^2+ab+b^2$.

Mặt khác, $a^2+ab+b^2$ là số nguyên dương lẻ, $a-b$ là số nguyên dương chẵn. Dẫn đến vô lý.

Vậy $(x;y;z)=(0;0;0)$ hoặc $(x;y;z)=(2;0;1)$.