Bài làm của tôi đây, nhớ vote cho tôi 5 sao nhé, và nếu được thì thêm câu trả lời hay nhất nữa nha

Ta có:

$ 2\tan^2 x - \tan x - 2m + 1 = 0 \text{ (*)}\\ \Rightarrow m = \tan^2 x - \dfrac{1}{2} \tan x + \dfrac{1}{2} $

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $ x_1, x_2 \in [\dfrac{-\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}] $

$ \Leftrightarrow $ Đồ thị hàm số f(x) = m cắt đồ thị hàm số $ f(x) = \tan^2 x - \dfrac{1}{2} \tan x + \dfrac{1}{2} $ tại 2 điểm phân biệt có giá trị của hoành độ thuộc đoạn $ [\dfrac{-\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}] $ 

Đặt $ t = \tan x $, vì hàm $ y = \tan x $ luôn đồng biến trên mỗi khoảng $ (-\dfrac{\pi}{2} + k \pi; \dfrac{\pi}{2} + k \pi) $

$ \Rightarrow $ Hàm $ y = \tan x $ đồng biến trên đoạn $ [-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}] $

Dễ dàng tìm được tập giá trị của hàm $ y = \tan x $ trên đoạn $ [-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}] $ là [-1; 1]

$ \Rightarrow \text{ Với } x \in [-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}] \text{ thì } t \in [-1; 1] $

Khi đặt $ t = \tan x $, hàm f(x) trở thành:

$ f(t) = t^2 - \dfrac{1}{2} t + \dfrac{1}{2} $

Xét bảng biến thiên hàm y = f(t) trên đoạn [-1;1] ta có:

(Hình dưới) 

Từ bảng biến thiên suy ra: Đồ thị hàm y = m cắt đồ thị hàm y = f(t) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi $ \dfrac{7}{16}<m≤1 $

Kết luận. Đồ thị hàm y = m cắt đồ thị hàm y = f(x) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi $ \dfrac{7}{16}<m≤1 $

Vậy số thực m thoả mãn $ \dfrac{7}{16}<m≤1 $ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt