Ta có: `BC=2AB=5.2=10` (Trong tam giác vuông, góc đối diện với góc `30^@` bằng một nửa cạnh huyền)

`=> AI=(BC)/2=10/2=5` (Đường trung tuyến nối từ đỉnh đến cạnh huyền của tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền)

Và: `IB=IC=(BC)/2=10/2=5` (I là trung điểm BC)

``

Áp dụng định lí Pitago vào `DeltaABC (hat(A)=90^@)`:

`BC^2=AB^2+AC^2` 

`<=>10^2=5^2+AC^2`

`<=>AC=5sqrt3`

``

Xét `DeltaHIC` có: ${\begin{matrix}\widehat{HIC}=90^o\\\widehat{HCI}=30^o\end{matrix}}$ `=>HI=(HC)/2`

Áp dụng định lí Pitago trong `DeltaHIC (hatH=90^@)`:

`HC^2=HI^2+IC^2`

`<=>HC^2=(HC^2)/4+5^2`

`<=>HC=(5sqrt5)/2`

`=>HI=(5sqrt5)/4`

``

Diện tích tam giác vuông `ABC` là: `S=1/2 .AB.AC=1/2 .5 .5sqrt3=(25\sqrt3)/2` 

Diện tích tam giác đều `ABI` là: `S_1=AB^2 .sqrt3/4 =5^2 .sqrt3/4=(25sqrt3)/4 `

Diện tích tam giác vuông `HIC` là: `S_2=1/2 .HI.IC=1/2. (5sqrt5)/4 .5=(25sqrt5)/8`

`=>` Diện tích tam giác `AHI` là: `S_3=S-S_1-S_2=(50sqrt3-25sqrt5)/8` 

``

Vậy `S_(Delta AHI)=(50sqrt3-25sqrt5)/8`.