Giải thích các bước giải:

Ta có: $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90^o\to ABDC$ nội tiếp

$\to D\in (O)$

Mà $\widehat{ABD}=90^o\to AD$ là đường kính của $(O)$

$\to O$ là trung điểm $AD$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

Ta có: $BH//CD(\perp AC), BD//CH(\perp AB)\to BHCD$ là hình bình hành

$\to HD\cap BC=M$ là trung điểm mỗi đường

$\to OM$ là đường trung bình $\Delta AHD$

$\to AH=\dfrac12OM$ không đổi khi $O, B, C$ cố định

Kẻ $OI\perp AH, AH\perp BC=G$

$\to OIGM$ là hình chữ nhật

$\to IG=OM$

Ta có:

$S_{BHCD}=2S_{BHC}=HG.BC$

Để $S_{BHCD}$ lớn nhất

$\to S_{B HC}$ lớn nhất

$\to HG.BC$ lớn nhất

$\to HG$ lớn nhất

$\to HG+2OM$ lớn nhất

$\to HG+AH$ lớn nhất

$\to AG$ lớn nhất

Mà $AG=AI+IG\le AO+OM=R+OM$ không đổi

$\to AG$ lớn nhất khi $AI=AO\to A$ nằm chính giữa cung $BC$