Gọi `D` là điểm hạ vuông góc xuống trục hoành của điểm `C`

Gọi `F` là giao điểm `AC` với trục hoành

`=>` `CD = |y_C| = |-1| = 1`

`=>` `BD = |x_B| + |x_C|= |-2| + |3| = 2 + 3 = 5`

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

`BC = \sqrt{BD^2  + CD ^2} = \sqrt{5^2  + 1} = \sqrt{26}`

$\\$

Gọi `E` là điểm hạ vuông góc xuống trục hoành của điểm `A`

`=>` `AE = |y_A| = |1| = 1`

Xét $\triangle AEF$ và $\triangle CDF$ :

$\widehat{AFE}$ = $\widehat{CFD}$ (đối đỉnh)

$\widehat{E}$ = $\widehat{D}$ = `90^o`

`=>` $\triangle AEF$ $\backsim$ $\triangle CDF$ (góc - góc)

`=>` `{AE}/{CD} = {AF}/{CF}`

`=>` `1 = {AF}/{CF}`

Gọi đường thẳng đi qua `A` và `C` có dạng: `y = ax +b`

Có `A(1;1) => x = 1; y =1`

Có `C(3;-1) => x = 3; y = -1`

`=>` Hệ số `a` và `b` là nghiệm của hệ phương trình: `{(1 = a + b),(-1 = 3a + b):}`

`<=>` `{(a = -1),(b = 2):}` 

`=>` Đường thẳng có dạng `y = -x + 2`

Ta có `F` nằm trên trục hoành

`=>` `y = 0`

`=>` `0 = -x +2 => x =  2`

`=>` Tọa độ điểm `F` là `F(2;0)`

`=>` `EF = OF - OE = |x_F| - |x_E| = |2| - |1|  = 2 -1 = 1`

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

`AF  = \sqrt{AE^2 + EF^2 } = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} `

Chứng minh tương tự ta có: 

 `FC = \sqrt{2}`

`=>` `AC = 2\sqrt{2} `

$\\$

Có `BE = |x_B| + |x_E| = |-2| + |1| = 2 + 1 = 3`

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

`BA = \sqrt{AE^2  + BE^2} = \sqrt{1^2 + 3^2 } = \sqrt{10}`

`=>` Nửa chu vi $\triangle ABC$ là:

`p = AB + AC + BC =  {\sqrt{10}  +  2\sqrt{2} +  \sqrt{26}}/2`

Áp dụng Hê-rông ta có:

`S_{ABC} =\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} = 4` (đơn vị diện tích)