`@`Thienlyoi

`ΔABC` vuông tại `A` có `\hat{C} = α ( \hat{C} < \hat{B} )`

Kẻ `AH ⊥ BC` `(H ∈ BC)`; `AM` là đường trung tuyến của `BC` `(M ∈ BC)`

`=> AM = 1/2 BC` (đường trung tuyến trong `Δ` vuông)

Đặt `BC = 2a`

`=> BM = MC = AM = 1/2 BC = 1/2 . 2a = a`

`=>` `ΔAMC` cân tại `M`

`=> \hat{C} = \hat{MAC}`

Xét `ΔAMC` có `\hat{BMA}` là góc ngoài

`=> \hat{BMA} = \hat{C} + \hat{MAC} = α + α = 2α`

Vì `ΔAHC` vuông tại `H`

`=> sin α = (AH)/(AC); cos α = (CH)/(AC)`

Ta có :

`2sin α . cos α = 2 (AH)/(AC) . (CH)/(AC) = (2AH.CH)/(AC^2)`

Vì `ΔABC` vuông tại `A` và có đường cao `AH`

`=> AC^2 = CH . BC` ( hệ thức lượng trong tam giác vuông )

`=> 2sin α . cos α = (2AH . CH)/(CH . BC) = (2AH)/(BC)`

Mà `BC = 2a`

`=> 2sin α . cos α = (2AH)/(2a) = (AH)/a (1)`

Mặt khác :

`\hat{BMA} = 2α`

`=> sin BMA = sin 2α = (AH)/(AM) = (AH)/a (2)`

Từ `(1)` và `(2) => 2sin α . cos α = sin 2α` (đpcm)

Vậy `2sin α . cos α = sin 2α`

Giải thích các bước giải:

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A, AD\perp BC, \hat C=\alpha, M$ là trung điểm $BC$

$\to MA=MB=MC=\dfrac12BC$

$\to \Delta MAC$ cân tại $M$

$\to \widehat{AMD}=2\hat C=2\alpha$

$\to \sin2\alpha=\sin\widehat{AMD}=\dfrac{AD}{AM}=\dfrac{2AD}{2AM}=\dfrac{2AD}{BC}=2\cdot \dfrac{AD}{AC}\cdot \dfrac{AC}{BC}=2\sin C\cdot \cos C=2\sin\alpha\cos\alpha$