Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to \Delta ABC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\to O$ là trung điểm $BC$

Ta có: $DE\perp BC, CA\perp BE, DE\cap CA=F\to F$ là trực tâm $\Delta FBC$

$\to BF\perp CE$

$\to BH\perp CE$

$\to \widehat{BHC}=90^o$

$\to H\in$ đường tròn đường kính $BC$

$\to H\in (O)$

Ta có: $\widehat{EAC}=\widehat{EDC}=90^o$

$\to AECD$ nội tiếp đường tròn đường kính $CE$

b.Xét $\Delta BDF, \Delta BHC$ có:

Chung $\hat B$

$\hat D=\hat H(=90^o)$
$\to\Delta BDF\sim\Delta BHC(g.g)$

$\to \dfrac{BD}{BH}=\dfrac{BF}{BC}$

$\to BF\cdot BH=BD\cdot BC$

Ta có: $\widehat{FHC}=\widehat{FDC}=90^o\to FHCD$ nội tiếp đường tròn đường kính $FC$

$\to \widehat{ACB}=\widehat{FCD}=\widehat{FHD}=\widehat{BHK}$

$\to BA=BK$

$\to B$ nằm chính giữa cung $AK$

$\to OB\perp AK$

$\to AK\perp BC$

c.Xét $\Delta CHB,\Delta CDE$ có:

Chung $\hat C$

$\hat H=\hat D(=90^o)$

$\to \Delta CHB\sim\Delta CDE(g.g)$

$\to \dfrac{CH}{CD}=\dfrac{CB}{CE}$

$\to CD\cdot CB=CH\cdot CE$

$\to BF\cdot BH+CH\cdot CE=BD\cdot BC+CD\cdot BC=BC^2$

d.Ta có: $\Delta EAF, \Delta EHF$ vuông tại $A, H$

               $I$ là trung điểm $EF$

$\to IA=IE=IF=\dfrac12EF, IH=IE=IF=\dfrac12EF$

$\to IA=IH$

Mà $OA=OH$

$\to I, O\in$ trung trực $AH$

$\to OI$ là trung trực $HA$

$\to OI\perp AH$