- Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

`a^4/(a^2 b+1)+b^4/(b^2 c+1)+c^4/(c^2 a+1)`

`=(a^4c)/(c(a^2 b+1))+(b^4a)/(a(b^2 c+1))+(c^4b)/(b(c^2 a+1))`

`>=(a^2sqrtc+b^2sqrta+c^2sqrtb)^2/(c(a^2 b+1)+a(b^2 c+1)+b(c^2 a+1))`

`=(a^2sqrtc+b^2sqrta+c^2sqrtb)^2/(abc(a+b+c)+(a+b+c))`

`=(a^2sqrtc+b^2sqrta+c^2sqrtb)^2/((abc+1)(a+b+c)(**)`

Theo bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương ta có:
`sqrt(a^3/b)+sqrt(a^3/b)+b>=3\root[3]{sqrt(a^3/b).sqrt(a^3/b).b}= 3\root[3]{a^3/b .b}=3a`

hay `sqrt(a^3/b)>=a(1)`

Hoàn toàn tương tự ta cũng có: `sqrt(b^3/c)>=b(2);sqrt(c^3/a)>=c(3)`

- Cộng `(1),(2)` và `(3)` vế theo vế ta có:
`sqrt(a^3/b)+sqrt(b^3/c)+sqrt(c^3/a)>=a+b+c`

`=>sqrt(abc).(sqrt(a^3/b)+sqrt(b^3/c)+sqrt(c^3/a))>=sqrt(abc)(a+b+c)`

`<=>a^2sqrtc+b^2sqrta+c^2sqrtb>=sqrtabc(a+b+c)`

`=>(a^2sqrtc+b^2sqrta+c^2sqrtb)^2>=abc(a+b+c)^2(** **)`

- Từ `(**)` và `(** **)` ta có:

`a^4/(a^2 b+1)+b^4/(b^2 c+1)+c^4/(c^2 a+1)>=(abc(a+b+c)^2)/((abc+1)(a+b+c))=(abc(a+b+c))/(abc+1)`

- Dấu "=" xảy ra `<=>a=b=c>0`

Vậy `a^4/(a^2 b+1)+b^4/(b^2 c+1)+c^4/(c^2 a+1)>=(abc(a+b+c))/(abc+1)`

Ta có : `\sum_{cyc}(a^4)/(a^2 b+1)=\sum_{cyc}(a^3)/(ab+1/a)>=((a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2)/(ab+bc+ca+1/a+1/b+1/c)`

`=(abc(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2 )/((abc+1)(ab+bc+ca)`

Do đó, cần chứng minh : `(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2 >=(ab+bc+ca)(a+b+c)`

Có : `VT>=((a+b+c)^4)/((\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2)>=(3(ab+bc+ca)(a+b+c)^2)/(3(a+b+c))=3(a+b+c)(ab+bc+ca)`

Dấu "=" xảy ra `<=>a=b=c>0`