đoán đáp án là $n$ là các số tự nhiên chia hết cho $3$

xong rồi dùng đồng dư..

xét 3 trường hợp

trường hợp 1: $n$ chia $3$ dư $1$, đặt $n= 3k+1$ với $k \in \mathbb{N}$

thế thì

$5^n-2^n\equiv 5^{3k+1}-2^{3k+1}\equiv 5\cdot 125^k-2\cdot8^k\\
\equiv 5\cdot(-1)^k-2\cdot(-1)^k\equiv (-1)^k(3)\ (mod\ 9)$

không chia hết cho $9$ vô lí.

trường hợp 2, $n$ chia $3$ dư $2$, đặt $n=3k+2$ với $k \in \mathbb{N}$

có

$5^n-2^n\equiv 5^{3k+2}-2^{3k+2}\equiv 25\cdot 125^k-4\cdot8^k\\
\equiv 25\cdot(-1)^k-4\cdot(-1)^k\equiv (-1)^k(3)\ (mod\ 9)$

vô lí

mặt khác với $n$ chia hết cho $3$ đặt $n=3k$ với $k \in \mathbb{N}$

$5^n-2^n\equiv 5^{3k}-2^{3k}\equiv 125^k-8^k\\
\equiv (-1)^k-(-1)^k\equiv (-1)^k(1-1)\ \equiv 0 \ (mod\ 9)$

chia hết cho $9$.

thử lại chẳng hạnvới $n=3$  có $5^n-2^n=117=9\cdot13$ thỏa mãn

kết luận các số $n$ cần tìm có dạng $3k$ với $k \in \mathbb{N}$