Đặt `2^n|S_n=(n+1)(n+2)...(n+n)(1)`

- Với `n=0` thì `1|0(` đúng `)=>`Mệnh đề `(1)` đúng khi `n=0` 

- Với `n=1` thì `2|2(` đúng `)=>`Mệnh đề `(1)` đúng khi `n=1` 

- Giả sử mệnh đề `(1)` đúng với `n=k\inNN >=2,` khi đó ta phải đi chứng minh `(1)` cũng đúng với `n=k+1,` thật vậy:
`S_(k+1)=[(k+1)+1][(k+1)+2]...[(k+1)+(k+1)]`

`=(k+2)(k+3)...(k+k)(2k+2)`

`=2(k+1)(k+2)...(k+k)`

`=2S_k`

Theo giả thiết quy nạp ta có `2^k|S_k=>2^(k+1)|S_(k+1)`

`=>` Mệnh đề `(1)` đúng khi `n=k+1,` hay ta có điều phải chứng minh.

Vậy `2^n|S_n=(n+1)(n+2)...(n+n)AAn\inNN`

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$S_n=(n+1)(n+2)...(n+n)=\dfrac{(2n)!}{n!}$

Mà:

$(2n)!$

$=1.2.3.4...(2n-1).2n$

$=(2.4.8...2n).(1.3.5.7...(2n-1))$

$=2^{n}.(1.2.3...n).(1.3.5.7...(2n-1))$

$=2^{n}.n!.(1.3.5.7...(2n-1))$

$\to \dfrac{(2n)!}{n!}=2^n.(1.3.5.7...(2n-1))\quad\vdots\quad 2^n$

$\to S_n\quad\vdots\quad 2^n$

$\to 2^n|S_n$