xét tam giác ABC: góc BAC=$90^{o}$(GT)

AH⊥BC(GT)

theo Định lý Pitago:

AB²+AC²=BC²=25²=625

có AB.AC=AH.BC=12.25=300(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

⇔2AB.AC=600

⇔AB²+AC²+ 2AB.AC=600+625=1225

⇔(AB+AC)²=1225⇒AB+AC=35(AB,AC>0)⇔AB=35-AC

Mà AB.AC=300⇒AC(35-AC)=300

⇔-AC²+35AC-300=0

⇔AC²-35AC+300=0⇒\(\left[ \begin{array}{l}AC=20\\AC=15\end{array} \right.\) 

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}AB=15\\AB=20\end{array} \right.\) 

Ta có AM là trung tuyến của BC(GT)⇒BM=CM=$\frac{25}{2}$ =12,5

TH1:AB=15,AC=20

Có góc AHB= $90^{o}$(AH⊥BC)

theo định lý Pitago

BH²=AB²-AH²=225-144=81⇔BH=9⇒CH=BC-BH=25-9=16

Có:HM=CH-CM=16-12,5=3,5

TH2:AB=20,AC-15

Có góc AHB = $90^{o}$(AH⊥BC)

theo định lý Pitago 

BH²=AB²-AH²=400-144=256⇔BH=16⇒CH=BC-BH=25-16=9

Có:HM=BH-CM=16-12,5=3,5