Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta MDB,\Delta MCE$ có:

$\hat B=\hat C$

$\widehat{DMB}=180^o-\widehat{DME}-\widehat{EMC}=180^o-\hat B-\widehat{EMC}=180^o-\hat C-\widehat{EMC}=\widehat{MEC}$

$\to \Delta MDB\sim\Delta EMC(g.g)$

$\to\dfrac{BD}{MC}=\dfrac{MB}{EC}$

$\to BD.CE=MB.MC=\dfrac14BC^2$ không đổi

b.Từ a $\to \dfrac{MD}{ME}=\dfrac{BD}{MC}$

$\to \dfrac{MD}{ME}=\dfrac{BD}{MB}$

Mà $\widehat{DME}=\widehat{B}$

$\to \Delta MDE\sim\Delta BDM(c.g.c)$

$\to \widehat{MDB}=\widehat{MDE}$

$\to DM$ là phân giác $\widehat{BDE}$

c.Tương tự b $\to EM$ là phân giác $\widehat{DEC}$

Kẻ $MF\perp DB, MG\perp DE, MH\perp AC$

$\to MF=MG, MG=MH$

$\to MF=MG=MH$

$\to DF=\sqrt{DM^2-MF^2}=\sqrt{MD^2-MG^2}=DG$

Tương tự $EG=EH$

$\to DE=DG+GE=DF+EH$

$\to P_{ADE}=AD+DE+EA=AD+DF+EH+EA=AF+AH=2AF$

Ta có: $\Delta ABC$ đều cạnh $BC=2a$

$\to AM=\dfrac{2a\sqrt3}2$

$\to AM=a\sqrt3$

Mà $\Delta AMB$ vuông tại $M, MF\perp AB$

$\to AF.AB=AM^2$

$\to AF=\dfrac{AM^2}{AB}$

$\to AF=\dfrac{(a\sqrt3)^2}{2a}=\dfrac32a$

$\to P_{ADE}=2AFF=3a$