Đáp án + Giải thích các bước giải:

1.1)

Vì `SB` và `SC` là tiếp tuyến của `(O)` nên `\hat{SBO}=\hat{SCO}=90^o`

Xét tứ giác `SBOC` có: `\hat{SBO}+\hat{SCO}=90^o +90^o=180^o` nên tứ giác `SBOC` nội tiếp

Hay: `S,B,O,C` cùng nằm trên một đường tròn

Vậy `S,B,O,C` cùng nằm trên một đường tròn

1.2)

Vì `S` là giao điểm của hai tiếp tuyến `SB` và `SC` của `(O)` nên `SO\botBC` và `OS` là tia phân giác của `\hat{BOC}`

Xét `\DeltaOBC` cân tại `O` (Vì `OB=OC`) có: `OM` là đường trung tuyến (Vì `M` là trung điểm `BC`) nên `OM` đồng thời là tia phân giác của `\hat{BOC}`

Từ đó suy ra: `O,M,S` thẳng hàng

Xét `\DeltaSBO` vuông tại `B` có: `BM` là đường cao nên `SB^2=SM.SO` (Hệ thức lượng)

Vậy `SB^2=SM.SO`

2.1)

Xét `\DeltaSBD` và `\DeltaSAB` có:

`\hat{ASB}`: Góc chung

`\hat{SBD}=\hat{SAB}(=1/2\text{sđ}\stackrel\frown{BD})`

`=>\DeltaSBD` $\backsim$ `\DeltaSAB(g.g)`

`=>(SB)/(SD)=(SA)/(SB)`

`=>SB^2=SD.SA`

Mà: `SB^2=SM.SO` nên `SD.SA=SM.SO`

Vậy `SD.SA=SM.SO`

2.2)

Xét `\DeltaSMD` và `\DeltaSAO` có:

`\hat{ASO}`: Góc chung

`(SD)/(SM)=(SO)/(SA)` (Vì `SD.SA=SM.SO`)

`=>\DeltaSMD` $\backsim$ `\DeltaSAO(c.g.c)`

`=>\hat{SMD}=\hat{SAO}`

Xét tứ giác `AOMD` có: `\hat{DAO}=\hat{SMD}` nên tứ giác `AOMD` nội tiếp

Khi đó: `\hat{DMS}=\hat{DAO}` và `\hat{AMO}=\hat{ADO}`

Mà: `\DeltaAOD` cân tại `O` (Vì `OA=OD`) nên `\hat{DAO}=\hat{ODA}`

Khi đó: `\hat{DMS}=\hat{AMO}`

Vì `BM\botOS` nên `\hat{DMS}+\hat{DMB}=\hat{AMO}+\hat{AMB}=90^o`

Khi đó: `\hat{DMB}=\hat{AMB}`

Hay: `MB` là tia phân giác của `\hat{AMD}`

Vậy `MB` là tia phân giác của `\hat{AMD}`

3.1)

Xét `\DeltaAON` cân tại `O` (Vì `OA=ON`) có: `\hat{ONA}=\hat{OAN}`

Mà: `\hat{OAN}=\hat{ODM}` (Vì tứ giác `AOMD` nội tiếp) 

Do đó: `\hat{ONA}=\hat{ODM}(1)`

Xét `\DeltaODN` cân tại `O` (Vì `OD=ON`) có: `\hat{OND}=\hat{ODN}(2)`

Trừ `(2)` cho `(1)` vế theo vế có:

`\hat{OND}-\hat{ONA}=\hat{ODN}-\hat{ODM}`

`=>\hat{MND}=\hat{MDN}`

`=>\DeltaMND` cân tại `M`

`=>MD=MN`

`=>M` thuộc đường trung trực của `ND`

Mà: `O` cũng thuộc đường trung trực của `ND` (Vì `ON=OD`)

Do đó: `MO` là đường trung trực của `ND`

`=>MO\botND`

Mà: `MO\botBC` nên `ND////BC`

Hay: `ND////BM`

`=>\hat{AMB}=\hat{AND}` (So le trong)

Mà: `\hat{AMB}=\hat{AFE}` (Vì tứ giác `AFEM` nội tiếp) và `\hat{AND}=\hat{AFD}(=1/2\text{sđ}\stackrel\frown{AD})`

Do đó: `\hat{AFE}=\hat{AFD}`

Khi đó: Ba điểm `D,E,F` thẳng hàng

Vậy ba điểm `D,E,F` thẳng hàng

3.2)

Gọi `H` là tâm của đường tròn ngoại tiếp `\DeltaFMN`

Vì `MC\botMO` nên `\hat{OMF}+\hat{CMF}=90^o`

Mà: `\hat{CMF}=\hat{EAF}` (Vì tứ giác `AMEF` nội tiếp)

Và: `\DeltaAOE` cân tại `O` (VÌ `OA=OE`) nên `\hat{EAF}=(180^o -\hat{AOF})/2`

Lại có: `\hat{AOF}=2\hat{ANF}` (Vì `\hat{AOF}=\text{sđ}\stackrel\frown{AF};\hat{ANF}=1/2\text{sđ}\stackrel\frown{AF}`)

Do đó: `\hat{OMF}+(180^o -\hat{AOF})/2=90^o`

`=>\hat{OMF}+90^o -(\hat{AOF})/2=90^o`

`=>\hat{OMF}=\hat{ANF}`

Ta có: `\hat{OMH}=\hat{OMF}+\hat{FMH}`

Vì `\hat{OMF}=\hat{ANF}(cmt)` và `\DeltaFMH` cân tại `H` (Vì `HM=HF`) nên `\hat{FMH}=(180^o -\hat{MHF})/2=90^o -(\hat{MHF})/2`

Mà: `\hat{MHF}=2\hat{MNF}` (Vì `\hat{MHF}=\text{sđ}\stackrel\frown{MF};\hat{MNF}=1/2\text{sđ}\stackrel\frown{MF}`)

Do đó: `\hat{OMH}=\hat{ANF}+90^o -(\hat{MHF})/2`

`=>\hat{OMH}=\hat{ANF}+90^o -\hat{MNF}`

`=>\hat{OMH}=90^o`

Suy ra: `OM` là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp `\DeltaFMN`

Hay: `SO` tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp `\DeltaFMN(1)`

Xét `\DeltaOBC` có: `O` và `BC` cố định nên `\DeltaOBC` cố định

Mà: `OM` là đường trung tuyến của `\DeltaOBC` nên `OM` cố định `(2)`

Xét `\DeltaSBO` vuông tại `B` có: `BM` là đường cao nên `OB^2=OM.OS` (Hệ thức lượng)

`=>OS=(OB^2)/(OM)(3)` 

Vì `BC` cố định nên `B` và `C` cố định, khi đó `OB` cố định `(4)`

Từ `(1),(2),(3)` suy ra: `OS` cố định `(5)`

Từ `(1),(5)` suy ra: Đường tròn ngoại tiếp `\DeltaFMN` luôn tiếp xúc với đường thẳng `OS` cố định

Vậy đường tròn ngoại tiếp `\DeltaFMN` luôn tiếp xúc với đường thẳng `OS` cố định

3.3)

Gọi `G` là giao điểm của `NF` và `OS`

Ta có: `\hat{SDF}+\hat{ADF}=180^o` (Kề bù)

Lại có: `\hat{ADF}=\hat{ANF}(=1/2\text{sđ}\stackrel\frown{AF})`

Và: `\hat{ANF}=\hat{OMF}(cmt)` 

Do đó: `\hat{SDF}+\hat{OMF}=180^o`

Mà: `\hat{OMF}+\hat{SMF}=180^o` (Kề bù)

Do đó: `\hat{SDF}+\hat{OMF}=\hat{OMF}+\hat{SMF}`

`=>\hat{SDF}=\hat{SMF}`

Xét tứ giác `SDMF` có: `\hat{SDF}=\hat{SMF}` nên tứ giác `SDMF` nội tiếp

`=>\hat{DFS}=\hat{DMS}`

Ta có: `\hat{GFS}=\hat{DFS}-\hat{DFN}`

Mà: `\hat{DFS}=\hat{DMS}(cmt);\hat{DFN}=\hat{DAN}(=1/2\text{sđ}\stackrel\frown{ND})`

Lại có: `\hat{DMS}=\hat{AMO}(cmt)`

Do đó: `\hat{GFS}=\hat{AMO}-\hat{DAN}`

Xét `\DeltaAMS` có: `\hat{AMO}=\hat{DAN}+\hat{DSM}`

`=>\hat{AMO}-\hat{DAN}=\hat{DSM}`

Do đó: `\hat{GFS}=\hat{DSM}(6)`

Ta có: `\hat{AMO}=\hat{DMS}(cmt);\hat{AMO}=\hat{SMN}` (Đối đỉnh) nên `\hat{DMS}=\hat{SMN}`

Xét `\DeltaDMS` và `\DeltaNMS` có:

`MD=MN(cmt)`

`\hat{DMS}=\hat{NMS}(cmt)`

`MS`: Cạnh chung

`=>\DeltaDMS=\DeltaNMS(c.g.c)`

`=>\hat{DSM}=\hat{NSM}(7)`

Từ `(6),(7)` suy ra: `\hat{GFS}=\hat{NSM}`

Xét `\DeltaGSN` và `\DeltaGFS` có:

`\hat{SGF}`: Góc chung

`\hat{GSN}=\hat{GFS}(cmt)`

`=>\DeltaGSN` $\backsim$ `\DeltaGFS(g.g)`

`=>(GS)/(GN)=(GF)/(GS)`

`=>GS^2=GF.GN(8)`

Xét `\DeltaGMN` và `\DeltaGFM` có:

`\hat{GMN}=\hat{GFM}(=1/2sđ\stackrel\frown{MN})`

`\hat{MGF}`: Góc chung

`=>\DeltaGMN` $\backsim$ `\DeltaGFM(g.g)`

`=>(GM)/(GN)=(GF)/(GM)`

`=>GM^2=GF.GN(9)`

Từ `(8),(9)` suy ra: `GM^2=GS^2`

`=>GM=GS`

Mà: `G\inMS` nên `G` là trung điểm của `MS`

Ta có: `MS=OS-OM`

Mà: `OS` cố định và `OM` cố định nên `MS` cố định

Khi đó: `G` là điểm cố định (Vì `G` là trung điểm của `MS`)

Vậy `FN` đi qua điểm cố định 

`1.1)` Vì `SB,SC` là các tiếp tuyến của đường tròn `(O)` nên `hat(SBO)=hat(SCO)=90^o.`

Vì tứ giác `SBOC` có `hat(SBO)+hat(SCO)=180^o` nên `SBOC` nội tiếp trong một đường tròn.

`=>4` điểm `S,B,O,C` cùng nằm trên một đường tròn.

`1.2)` Do `SB=SC,OB=OC` nên `SO` là đường trung trực của `BC` dẫn đến `SO\botBC` tại trung điểm `M` của `BC`.

Áp dụng hệ thức lượng trong `Delta` vuông `SBO` ta có: `SB^2=SM.SO(1)`

`2.1)` Xét `DeltaSBA` và `DeltaSDB` ta có `hat(ASB)` chung, `hat(SBD)=hat(SAB)=1/2sđhat(BD)`

`=>DeltaSBA` $\sim$ `DeltaSDB(g.g)=>(SB)/(SD)=(SA)/(SB)=>SB^2=SA.SD(2)`

`(1),(2)=>SM.SO=SD.SA<=>(SM)/(SD)=(SA)/(SO)`

`=>DeltaSDM` $\sim$ `DeltaSAO(c.g.c)`

`2.2)` Từ `2.1=>hat (SMD)=hat(SAO)=>OMDA` nội tiếp

Ta có: `hat(SMD)=hat(SAO)=hat(ODA)=hat(OMA)`

Mà `BM\botOS=>hat(BMD)=hat(AMB)` hay `BM` là phân giác `hat(AMD)` 

`3.1)` Do `AMEF` là tứ giác nội tiếp nên `hat(EFA)=hat(AMB)`

Ta có: `hat(AMB)=1/2hat(DMA)=1/2hat(DOA)=hat(DFA)`

`=>hat(EFA)=hat(DFA)` hat `3` điểm `D,E,F` thằng hàng

`3.2)` Gọi `FN\capSO={K}`

Ta có: `hat(KMN)=hat(OMA)=hat(ODA)=hat(OAD)=hat(OAM)+hat(MAD)=hat(MFE)+hat(DFN)=hat(MFK)`

`=>DeltaKNM` $\sim$ `DeltaKMF(g.g)=>KM^2=KN.KF(**)`

`(**)` điều này chứng tỏ `KM` là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp `DeltaFMN`

`=>SO` là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp `DeltaFMN`

Mà `SO` cố định `=>đpcm`

`3.3)` Gọi `I` là trung điểm `NF` thì `OI\botNF` nên ta có:

`KN.KF=(KI-IN)=(KI-IN)(KI+IN)=KI^2-IN^2=KO^2-(OI^2+IN^2)=KO^2-ON^2`

`=>KN.KF=KO^2-OB^2=KO^2-OM.OS(***)`

Từ `(**),(***)=>KM^2=KO^2-OM.OS<=>OM.OS=KO^2-KM^2=(KO-KM)(KO+KM)`

`=>OM.OS=OM(2KM+OM)=>OS-OM=2KM<=>SM=2KM`

`=>K` là trung điểm `MS=>đpcm`