Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to \widehat{AMB}=\widehat{ANB}=90^o\to AM\perp BC, AN\perp BN$

$\to \widehat{CKA}=\widehat{CMA}=90^o$

$\to A, M, C, K\in$ đường tròn đường kính $AC$

b.Ta có: $OA\perp MN\to OA$ là trung trực $MN$

Mà $B\in OA$

$\to BM=BN\to \Delta BMN$ cân tại $B$

Do $BA\perp MN\to BA$ là phân giác $\widehat{MBN}$

$\to BK$ là phân giác $\widehat{MBN}$

c.Ta có: $CN\perp DB, BA\perp CD, A\in CN$

$\to A$ là trực tâm $\Delta CBD$

$\to DA\perp BC$

Mà $AM\perp BC$

$\to D, A, M$ thẳng hàng

$\to DM\perp BC$

Ta có: $BK\perp CD, BK$ là phân giác $\widehat{CBD}$

$\to \Delta BCD$ cân tại $B, K$ là trung điểm $CD$

$\to \Delta MCD$ vuông tại $M, K$ là trung điểm $DC$

$\to KM=KC=KD=\dfrac12CD$

$\to\Delta KMC$ cân tại $K$

Ta có:

$\widehat{KMA}=\widehat{ACK}=90^o-\widehat{CAK}=90^o-\widehat{NAB}=\widehat{ABN}=\widehat{MBA}=\widehat{OBM}=\widehat{OMB}$

$\to\widehat{KMO}=\widehat{KMA}+\widehat{AMO}=\widehat{OMB}+\widehat{OMA}=\widehat{AMB}=90^o$

$\to KM\perp OM$

$\to KM$ là tiếp tuyến của $(O)$

d.Ta có: $\Delta CND$ vuông tại $N, K$ là trung điểm $CD$

$\to KN=KC=KD=\dfrac12CD$

$\to KM=KN=KC$

Để $MCKN$ là hình thoi $\to MC=MN=NK=KC$

Mà $KM=KN$

$\to MC=MN=KC=KN=MN$

$\to \Delta KMN$ đều

$\to \widehat{KMN}=60^o$

Do $KM$ là tiếp tuyến của $(O)\to\widehat{MBN}=\widehat{KMN}=60^o$

$\to \widehat{MBA}=\dfrac12\widehat{MBN}=30^o\to\widehat{MAB}=90^o-\widehat{MBA}=60^o$

$\to M\in (O),\widehat{MAO}=60^o$