Đáp án + Giải thích các bước giải:

b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC}$

$\cos \widehat{ACB} = \dfrac{AC}{BC}$

$\Rightarrow AB \cos \widehat{ABC} + AC\cos \widehat{ACB} = \dfrac{AB^2}{BC} + \dfrac{AC^2}{BC}$

$\Leftrightarrow AB \cos \widehat{ABC} + AC\cos \widehat{ACB}  = \dfrac{BC^2}{BC} = BC$
Xét $\Delta AEH$ và $\Delta CAB$, ta có:
$\begin {cases} \widehat{AEH} = \widehat{CAB} = 90^o \\ \widehat{EAH} = \widehat{ACB}(\text{cùng phụ với }\widehat{ABH}\end {cases}$

$\Rightarrow \Delta AEH \backsim \Delta CAB(g - g)$

Xét tứ giác $AEHF$, ta có:
$\widehat{HEA} = \widehat{EAF} = \widehat{AFH} = 90^o$

$\Rightarrow AEHF$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow AH = EF$

Xét $\Delta EAF$ vuông tại $A$ và $\Delta AEH$ vuông tại $A$, ta có:

$\begin {cases} EF = AH (cmt)\\ EA\text{ chung} \end {cases}$
$\Rightarrow \Delta EAF = \Delta AEH (ch - cgv)$

$\Rightarrow \Delta EAF \backsim \Delta CAB$

$\Rightarrow \begin {cases} \widehat{AEF} = \widehat{ACB} (2\text{ góc tương ứng}) \\ \widehat{AFE} = \widehat{ABC} (2\text{ góc tương ứng})\end {cases}$

$\Rightarrow \begin {cases} \sin \widehat{AEF} =\sin \widehat{ACB} \\ \sin \widehat{AFE} = \sin \widehat{ABC} \end {cases}$

$\Rightarrow \begin {cases} \dfrac{AF}{EF} = \dfrac{AB}{BC} \\ \dfrac{AE}{EF} = \dfrac{AC}{BC} \end {cases}$

$\Rightarrow \begin {cases} \sin^2 \widehat{ACB} = \dfrac{AF . AB}{EF . BC} \\ \sin^2 \widehat{ABC} = \dfrac{AE . AC}{EF . BC} \end {cases}$

$\Rightarrow S_{\Delta ABC} . \sin^2 \widehat{ACB} . \sin^2 \widehat{ABC} = \dfrac{AB . AC}{2} .\dfrac{AF . AB}{EF . BC} . \dfrac{AE . AC}{EF . BC}$

$\Leftrightarrow S_{\Delta ABC} . \sin^2 \widehat{ACB} . \sin^2 \widehat{ABC} = \dfrac{AB^2 . AC^2 . AE . AF}{2 . EF^2 . BC^2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$AB . AC = AH . BC$

$\Rightarrow AH = \dfrac{AB . AC}{BC}$

$\Rightarrow S_{\Delta ABC} . \sin^2 \widehat{ACB} . \sin^2 \widehat{ABC} = \dfrac{AH^2 . AE . AF}{2 . EF^2}$

Mà $AH = EF$

$\Rightarrow  S_{\Delta ABC} . \sin^2 \widehat{ACB} . \sin^2 \widehat{ABC} = \dfrac{AE . AF}{2} = S_{\Delta AEF}$

Giải thích các bước giải: