Xét `a\ne b\ne c`, ta có : `ab-a-b\vdots c` và `bc-b-c\vdots a=>(ab-a-b)(bc-b-c)\vdots  ac`

`=>ab(bc-b-c)-a(bc-b-c)-b(bc-b-c)\vdots ac`

`<=>ab^2 +ab-b^2 c+b^2 +bc\vdots ac`

Mà `a\ne b\ne c=>\text{gcd}(b;a)=\text{gcd}(b;c)=1=>\text{gcd}(b;ac)=1`

`=>ab+a-bc+b+c\vdots ac`

`=>ab-bc+a+b+c>=ac`

`=>ab+a+b+c>=ac+bc`

Chứng minh tương tự, ta được : `bc+a+b+c>=ca+ab,ca+a+b+c>=ab+bc`

`=>ab+bc+ca+3(a+b+c)>=2(ab+bc+ca)`

`<=>3(a+b+c)>=ab+bc+ca`

Lại có : `1/a+1/b<=1/2+1/2=1<=>a+b<=ab<=>ab-a-b>=0=>ab-a-b>=c`

Chứng minh tương tự, cộng theo vế ta được : `ab+bc+ca>=3(a+b+c)`

Suy ra : `ab+bc+ca=3(a+b+c)`

Xét lần lượt `a=2,b=2,c=2` ta được điều vô lý

Xét `a;b;>=3=>ab+bc+ca>=3(a+b+c)`, dấu "=" xảy ra `<=>a=b=c=3` ( Vô lý )

`=>` Trong `3` số `a,b,c` tồn tại `2` số bằng nhau, giả sử là. `a` và `b`

Có : `ca-c-a\vdots b=>ba-c-b\vdots b=>c\vdots b=>c=b`

Vậy `a=b=c`