Hình như chọn đt PTNK và đây là đề đề xuất duyên hải Ninh Bình nha bạn.

Cách 1.

Kí hiệu $P(u,v)$ là phép thế $x$ bởi $u,y$ bởi $v$ trong phương trình đề.

Nếu $f$ hằng thì thay vào dễ có $f(x)=0,\forall x\in\mathbb{R}$

Tồn tại $x_0\in\mathbb{R}$ sao cho $f(x_0)\ne 0$

Đặt $a=f(0)$

$P(0,0):f(a)=0$

$P(a,1): f(2a)=a$

$P(a,0): f(2a)=a+a=2a$

$\Rightarrow a=2a\Leftrightarrow a=0\Rightarrow f(0)=0$

Nếu $m\ne 0$ sao cho $f(m)=0$

$P\left(m,\dfrac{x}{m}\right): f(2m)=f(x)\Rightarrow f$ hằng (Loại)

Vậy $f(x)=0\Leftrightarrow x=0$ hay $f$ đơn ánh tại $0$

Giả sử tồn tại $a,b\ne 0$ thỏa mãn $f(a)=f(b)$

Ta thay $P\left(b,\dfrac{2a}{f(b)}\right)$ và $P\left(a,\dfrac{2b}{f(a)}\right)$ rồi trừ vế tương ứng được:

$f\left(\dfrac{2ab}{f(b)}\right)-f\left(\dfrac{2ab}{f(a)}\right) + 2(a-b)+f(f(b))-f(f(a))=0$

Mà $f(a)=f(b)$ nên $a=b$ hay $f$ đơn ánh.

$P(x,0): f(2x)=f(f(x))$ mà $f$ đơn ánh nên $f(x)=2x,\forall x\in\mathbb{R}$

Thử lại $f(x)=0,\forall x\in\mathbb{R};f(x)=2x,\forall x\in\mathbb{R}$ thỏa mãn.

Cách 2.

Lập luận như trên đến $f$ đơn ánh tại $0$

Giả sử tồn tại $u,v,w$ phân biệt đôi mội sao cho $f(u)=f(v)=w$

$\Rightarrow u,v,w\ne 0$

$P\left(u,\dfrac{2u}{u-w}\right): u(f(w)+2ww)=wf(w)$

$P\left(v,\dfrac{2v}{u-w}\right): v(f(w)+2w)=wf(w)$

$\Rightarrow f(w)=-2w$(Do $u\ne v$) và $f(w)=0\Leftrightarrow w=0$(Vô lý)

Giả sử tồn tại $u,v$ phân biệt sao cho $f(u)=f(v)=w$

$\bullet$ Nếu $u,v,w$ đôi một phân biệt thì làm như trên.

$\bullet$ 1 trong 2 số $u,v$ bằng $w$. Không mất tính tổng quát giả sử $u=w\Rightarrow w\ne 0$

$\Rightarrow f(u)=u$

$P\left(u,\dfrac{x}{u}\right): f(x+2u)=f(x)+x+u$

Thế $x$ bởi $0$: $f(2u)=u$

Thế $x$ bởi $-u$: $f(u)=f(-u)\Rightarrow f(-u)=u$

$\Rightarrow f(-u)=f(2u)=u$ nên làm như trên ta cũng được vô lý.

Do đó từ 2 trường hợp trên ta được $f$ đơn ánh.

Đến đây xử lý đoạn cuối dễ dàng.