Để tính chu vi tam giác \(NCD\), ta cần tìm độ dài các cạnh \(NC\) và \(ND\).

Ta biết rằng \(ON = 2R\) và \(OA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O; R)\), nên \(OA\) vuông góc với \(ON\). Do đó, tam giác \(OAN\) là tam giác vuông tại \(A\).

Vì \(OA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O; R)\), nên \(OA\) cũng là đường phân giác của góc \(NOB\). Do đó, ta có \(OA\) cắt \(NB\) tại điểm \(M\) sao cho \(OM\) là đường phân giác của góc \(NOB\).

Vì \(OA\) là đường phân giác của góc \(NOB\), nên ta có \(OA\) vuông góc với \(OB\). Vì \(OA\) cắt \(NB\) tại \(M\), nên \(OM\) cũng vuông góc với \(OB\). Do đó, tam giác \(OMB\) là tam giác vuông tại \(M\).

Vì \(OM\) là đường phân giác của góc \(NOB\), nên ta có \(OM\) cắt \(NB\) tại điểm \(K\) sao cho \(OK\) là đường phân giác của góc \(NOB\).

Vì \(OK\) là đường phân giác của góc \(NOB\), nên ta có \(OK\) vuông góc với \(OB\). Vì \(OK\) cắt \(AB\) tại \(K\), nên \(OK\) cũng vuông góc với \(AB\). Do đó, ta có \(OK\) là đường cao của tam giác \(NAB\).

Vì \(OK\) là đường cao của tam giác \(NAB\), nên ta có \(OK\) vuông góc với \(AB\) tại \(K\). Vì \(OK\) cắt \(AB\) tại \(K\), nên \(K\) là trung điểm của \(AB\).

Vậy ta có \(KA = KB\).

Do đó, tam giác \(NKA\) là tam giác cân, nên ta có \(NK = NA\).

Tương tự, ta có \(NK = NB\).

Vậy ta có \(NK = NA = NB\).

Vì \(NC\) và \(ND\) là các tiếp tuyến của đường tròn \((O; R)\), nên ta có \(NC = ND = R\).

Vậy chu vi của tam giác \(NCD\) là \(NC + ND + CD = R + R + CD = 2R + CD\).

Với \(ON = 2R\), ta có \(CD = 2ON = 2(2R) = 4R\).

Vậy chu vi của tam giác \(NCD\) là \(2R + 4R = 6R\).