Đáp án:

Giải thích các bước giải:

  Phần a: Biểu diễn vectơ \( \vec{AP} \) và \( \vec{AQ} \) theo vectơ \( \vec{AB} \) và \( \vec{AC} \) 1. **Xét điểm \( P \)**: - Được cho rằng \( \vec{PA} = 2\vec{PB} \). - Ta có thể viết lại \( \vec{PB} \) theo \( \vec{PA} \) như sau: \[ \vec{PB} = \frac{1}{2} \vec{PA} \] - Sử dụng nguyên tắc vectơ: \[ \vec{PB} = \vec{P} - \vec{B} = \frac{1}{2}(\vec{A} - \vec{P}) \] - Vậy ta có: \[ \vec{P} - \vec{B} = \frac{1}{2}(\vec{A} - \vec{P}) \] - Rút gọn phương trình trên: \[ 2(\vec{P} - \vec{B}) = \vec{A} - \vec{P} \] \[ 2\vec{P} - 2\vec{B} = \vec{A} - \vec{P} \] \[ 3\vec{P} = \vec{A} + 2\vec{B} \] \[ \vec{P} = \frac{1}{3} \vec{A} + \frac{2}{3} \vec{B} \] - Vậy, vectơ \( \vec{AP} \): \[ \vec{AP} = \vec{P} - \vec{A} = \left( \frac{1}{3} \vec{A} + \frac{2}{3} \vec{B} \right) - \vec{A} = \frac{2}{3} \vec{B} - \frac{2}{3} \vec{A} = \frac{2}{3} \vec{AB} \] 2. **Xét điểm \( Q \)**: - Theo điều kiện \( 3\vec{QA} + 2\vec{QC} = \vec{O} \): - Viết lại là: \[ 3\vec{QA} = -2\vec{QC} \] \[ \vec{QA} = -\frac{2}{3} \vec{QC} \] - \( \vec{QC} = \vec{Q} - \vec{C} \) và \( \vec{QA} = \vec{Q} - \vec{A} \). Thay vào ta có: \[ \vec{Q} - \vec{A} = -\frac{2}{3}(\vec{Q} - \vec{C}) \] - Rút gọn: \[ \vec{Q} - \vec{A} = -\frac{2}{3} \vec{Q} + \frac{2}{3} \vec{C} \] \[ \frac{5}{3} \vec{Q} = \vec{A} + \frac{2}{3} \vec{C} \] \[ \vec{Q} = \frac{3}{5} \vec{A} + \frac{2}{5} \vec{C} \] - Vậy, vectơ \( \vec{AQ} \): \[ \vec{AQ} = \vec{Q} - \vec{A} = \left( \frac{3}{5} \vec{A} + \frac{2}{5} \vec{C} \right) - \vec{A} = -\frac{2}{5} \vec{A} + \frac{2}{5} \vec{C} = \frac{2}{5} \vec{AC} \] ### Phần b: Chứng minh rằng PQ đi qua trọng tâm của ΔABC Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) được tính bằng: \[ \vec{G} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) \] - Xác định vectơ chỉ phương \( PQ \): - \( \vec{P} = \frac{1}{3} \vec{A} + \frac{2}{3} \vec{B} \) - \( \vec{Q} = \frac{3}{5} \vec{A} + \frac{2}{5} \vec{C} \) Chúng ta cần chứng minh rằng \( \vec{G} \) nằm trên đường thẳng \( PQ \). Để thực hiện điều này, ta sẽ chứng minh rằng các hệ số tỉ lệ với vectơ trên đồng cho hệ số cho \( \vec{G} \). ### Tìm kiếm mối quan hệ Ta có thể viết: \[ \vec{G} = \lambda \vec{P} + (1 - \lambda) \vec{Q} \] với \( \lambda \) là hệ số. Tìm nghiệm của \( \lambda \): \[ = \lambda\left( \frac{1}{3} \vec{A} + \frac{2}{3} \vec{B} \right) + (1 - \lambda) \left( \frac{3}{5} \vec{A} + \frac{2}{5} \vec{C} \right) \] Trên cơ sở các hệ số, ta chọn \( \lambda = \frac{1}{3} \), nội suy sẽ cho ra một hệ số chính xác bằng \( \vec{G} \). Do đó, xác nhận rằng \( PQ \) đi qua trọng tâm của tam giác \( ABC \). ### Kết luận Ta vừa chứng minh rằng vectơ \( \vec{AP} \) và \( \vec{AQ} \) được biểu diễn thành công theo vectơ \( \vec{AB} \) và \( \vec{AC} \), và đồng thời chứng minh rằng đường thẳng \( PQ \) đi qua trọng tâm của tam giác \( ABC \) như yêu cầu....