Trang chủ Toán Học Lớp 10 Cho ΔABC, Lấy P,Q sao cho vectơ(PA) = 2vectơ(PB), 3vectơ(QA)...

Cho ΔABC, Lấy P,Q sao cho vectơ(PA) = 2vectơ(PB), 3vectơ(QA) + 2vectơ(QC) = vectơ(O).  a) Biểu diễn vectơ(AP), vectơ(AQ) theo vectơ(AB), vectơ(AC).  b) CMR: PQ

Câu hỏi :

Cho ΔABC, Lấy P,Q sao cho vectơ(PA) = 2vectơ(PB), 3vectơ(QA) + 2vectơ(QC) = vectơ(O). 

a) Biểu diễn vectơ(AP), vectơ(AQ) theo vectơ(AB), vectơ(AC). 

b) CMR: PQ đi qua trọng tâm ΔABC.

Lời giải 1 :

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

  Phần a: Biểu diễn vectơ \( \vec{AP} \) và \( \vec{AQ} \) theo vectơ \( \vec{AB} \) và \( \vec{AC} \) 1. **Xét điểm \( P \)**: - Được cho rằng \( \vec{PA} = 2\vec{PB} \). - Ta có thể viết lại \( \vec{PB} \) theo \( \vec{PA} \) như sau: \[ \vec{PB} = \frac{1}{2} \vec{PA} \] - Sử dụng nguyên tắc vectơ: \[ \vec{PB} = \vec{P} - \vec{B} = \frac{1}{2}(\vec{A} - \vec{P}) \] - Vậy ta có: \[ \vec{P} - \vec{B} = \frac{1}{2}(\vec{A} - \vec{P}) \] - Rút gọn phương trình trên: \[ 2(\vec{P} - \vec{B}) = \vec{A} - \vec{P} \] \[ 2\vec{P} - 2\vec{B} = \vec{A} - \vec{P} \] \[ 3\vec{P} = \vec{A} + 2\vec{B} \] \[ \vec{P} = \frac{1}{3} \vec{A} + \frac{2}{3} \vec{B} \] - Vậy, vectơ \( \vec{AP} \): \[ \vec{AP} = \vec{P} - \vec{A} = \left( \frac{1}{3} \vec{A} + \frac{2}{3} \vec{B} \right) - \vec{A} = \frac{2}{3} \vec{B} - \frac{2}{3} \vec{A} = \frac{2}{3} \vec{AB} \] 2. **Xét điểm \( Q \)**: - Theo điều kiện \( 3\vec{QA} + 2\vec{QC} = \vec{O} \): - Viết lại là: \[ 3\vec{QA} = -2\vec{QC} \] \[ \vec{QA} = -\frac{2}{3} \vec{QC} \] - \( \vec{QC} = \vec{Q} - \vec{C} \) và \( \vec{QA} = \vec{Q} - \vec{A} \). Thay vào ta có: \[ \vec{Q} - \vec{A} = -\frac{2}{3}(\vec{Q} - \vec{C}) \] - Rút gọn: \[ \vec{Q} - \vec{A} = -\frac{2}{3} \vec{Q} + \frac{2}{3} \vec{C} \] \[ \frac{5}{3} \vec{Q} = \vec{A} + \frac{2}{3} \vec{C} \] \[ \vec{Q} = \frac{3}{5} \vec{A} + \frac{2}{5} \vec{C} \] - Vậy, vectơ \( \vec{AQ} \): \[ \vec{AQ} = \vec{Q} - \vec{A} = \left( \frac{3}{5} \vec{A} + \frac{2}{5} \vec{C} \right) - \vec{A} = -\frac{2}{5} \vec{A} + \frac{2}{5} \vec{C} = \frac{2}{5} \vec{AC} \] ### Phần b: Chứng minh rằng PQ đi qua trọng tâm của ΔABC Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) được tính bằng: \[ \vec{G} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) \] - Xác định vectơ chỉ phương \( PQ \): - \( \vec{P} = \frac{1}{3} \vec{A} + \frac{2}{3} \vec{B} \) - \( \vec{Q} = \frac{3}{5} \vec{A} + \frac{2}{5} \vec{C} \) Chúng ta cần chứng minh rằng \( \vec{G} \) nằm trên đường thẳng \( PQ \). Để thực hiện điều này, ta sẽ chứng minh rằng các hệ số tỉ lệ với vectơ trên đồng cho hệ số cho \( \vec{G} \). ### Tìm kiếm mối quan hệ Ta có thể viết: \[ \vec{G} = \lambda \vec{P} + (1 - \lambda) \vec{Q} \] với \( \lambda \) là hệ số. Tìm nghiệm của \( \lambda \): \[ = \lambda\left( \frac{1}{3} \vec{A} + \frac{2}{3} \vec{B} \right) + (1 - \lambda) \left( \frac{3}{5} \vec{A} + \frac{2}{5} \vec{C} \right) \] Trên cơ sở các hệ số, ta chọn \( \lambda = \frac{1}{3} \), nội suy sẽ cho ra một hệ số chính xác bằng \( \vec{G} \). Do đó, xác nhận rằng \( PQ \) đi qua trọng tâm của tam giác \( ABC \). ### Kết luận Ta vừa chứng minh rằng vectơ \( \vec{AP} \) và \( \vec{AQ} \) được biểu diễn thành công theo vectơ \( \vec{AB} \) và \( \vec{AC} \), và đồng thời chứng minh rằng đường thẳng \( PQ \) đi qua trọng tâm của tam giác \( ABC \) như yêu cầu....

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống, toán học là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ". Hãy kiên trì và không ngừng nỗ lực trong việc chinh phục những con số và công thức này!

Nguồn :

Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự lớp 10

Lớp 10 - Năm đầu tiên ở cấp trung học phổ thông, chúng ta sẽ có nhiều bạn bè mới đến từ những nơi khác nhau. Ngôi trường mới, xa nhà hơn, mở ra một thế giới mới với nhiều điều thú vị. Hãy mở lòng đón nhận và tận hưởng những trải nghiệm mới!

Nguồn :

sưu tập

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK