`@` Đáp án: Khoảng cách nhỏ nhất là `21.6 m`

`@` Giải thích các bước giải:

`-` Ta có:

` 200/4 = 50 > 200/5 +5 = 45`

`->` Nên Cường đến trước Hưng. Do đó lúc Cường về thì Hưng vẫn đi.

`*` Khi đạt khoảng cách nhỏ nhất:

`->` Cường ở `F`, Hưng ở `E`

`-` Gọi `t` là thời gian Hưng đi đến khi đạt khoảng cách nhỏ nhất.

`-` Ta có:

`+ EC = t*4`

`+FC = [(t - 5) - 200/5]*60%*5 = (t-9)*3 = 3t - 27`

`-` Gọi `d` là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai bạn.

`->` Áp dụng định lí Pytago ta có:

           `EC^2 + FC^2 = d^2`

`<=> 16t^2 + 9t^2 -162t + 729 = d^2`

`<=>25t^2 - 162t + 729 - d^2 = 0`

`-` Lặp delta `= (-162)^2 - 4*25*(729 - d^2) = 26244 - 72900 + 100d^2 = -46656 + 100d^2`

`-` Để phương trình có nghiệm thì delta `>= 0`

`=> -46656 + 100d^2 >= 0`

`<=>100d^2 >= 46656`

`<=> d^2 >= 466.56`

`=> d = 21.6 (m)`

`-` Vậy khoảng cách nhỏ nhất của hai vật là `21.6m`

Vì quãng đưỡng chạy là hình vuông nên `AB=BC=CD=DC=a=100m`

Quãng đường mà Cường chuyển động là 

`S_1=AB+BC=100+100=200(m)`

Quãng đường mà Hưng chuyển động là

`S_2=AD+DC=100+100=200(m)`

`1`

`a)` Thời gian mà Cường chạy hết lượt đi của mình là :

`t_1=S_1/v_1=200/5=40(s)`

Thời gian mà Hưng chạy hết lượt đi của mình là :

`t_2=S_2/v_2=200/4=50(s)`

`b)` Ta thấy `t_1<t_2` nên Cường đến `C` sớm hơn và sớm hơn `Δt_1=t_2-t_1=50-40=10(s)`

`2`

Vận tốc lượt về của Cường là :

`v_3=60%.v_1=60%.5=3(m``/s)`

Vận tốc lượt về của Hưng là :

`v_4=85%.v_2=85%.4=3,4(m`/`s)`

`a)` Thời gian Cường chạy hết lượt về của mình là :

`t_3=S_1/v_3=200/3(s)`

Thời gian Hưng chạy hết lượt về của mình là :

`t_4=S_2/v_4=200/3,4=1000/17(s)`

`b)` Tổng thời gian Cường chạy là :

`t_(13)=t_1+t_3=40+200/3=320/3(s)`

Tổng thời gian Hưng chạy là :

`t_(24)=t_2+t_4=50+1000/17=1850/17(s)`

Ta thấy `t_(13)<t_(24)` nên Cường đến `A` sớm hơn và sớm hơn `Δt_2=t_(24)-t_(13)=1850/17-320/3=110/51(s)`

`3`

Theo `1.b` ta có Cường đến `C` sớm hơn Hưng nên sẽ quay về `A` trong khi Hưng vẫn đang đi tới `C`

Gọi `t` là thời gian tính từ lúc Cường đến `C` và đang trên đường quay về `A` mà khoảng cách giữa `2` người lúc này là nhỏ nhất `(t <Δt_1)`

Có :

`EC=S_2-v_2.t_1=200-4.40=40(m)`

`EP=v_2.t=4t`

`QC=v_3.t=3t`

Từ hình vẽ ta có :

`PQ^2=PC^2+QC^2` ( Theo định lí Pi-ta-go )

`<=>PQ^2= QC^2+(EC-EP)^2`

`<=>PQ^2=(3t)^2+(40-4t)^2=25t^2-320t+1600`

`-> PQ^2 min=576` tại `t=6,4(s)`

`-> PQ_(min)=24(m)`

Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa `2` bạn là `24m` tại `t=6,4s` tính từ lúc Cường từ `C` quay lại `A`