Một xưởng sản xuất sử dụng ba loại máy để sản xuất hai loại sản phẩm quần và áo

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi x, y (cái) lần lượt là số áo và số quần mà xưởng cần sản xuất (x, y ∈ ℕ).

Khi đó ta có:

x + 3y (giờ) là thời gian hoạt động của máy I;

2x + 4y (giờ) là thời gian hoạt động của máy II;

3x + 2y (giờ) là thời gian hoạt động của máy III.

Số tiền lãi của nhà máy L = 200x + 300y (nghìn đồng).

Do máy I chỉ hoạt động không quá 50 giờ, máy II hoạt động không quá 70 giờ và máy III hoạt động không quá 48 giờ nên ta có hệ $\left\{\begin{array}{c}x+3y\le 50\\ 2x+4y\le 70\\ 3x+2y\le 48\end{array}\right.$ .

Khi đó bài toán trở thành tìm số tự nhiên x, y thỏa hệ $\left\{\begin{array}{c}x+3y\le 50\\ 2x+4y\le 70\\ 3x+2y\le 48\end{array}\right.$  để L = 200x + 300y đạt giá trị lớn nhất.

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{c}x+3y\le 50\\ 2x+4y\le 70\\ 3x+2y\le 48\end{array}\right.$  với x ≥ 0; y ≥ 0.

Miền nghiệm của hệ là miền ngũ giác OABCD (kể cả biên) với O(0; 0), $A\left(0;\frac{50}{3}\right)$ , B(5; 15), $C\left(\frac{13}{2};\frac{57}{4}\right)$ , D(16; 0).

L lớn nhất tại các đỉnh của ngũ giác OABCD, do x, y ∈ ℕ nên ta chỉ cần tính giá trị của L tại các đỉnh O, B, D và so sánh.

Ta có:

L(0; 0) = 0, L(5; 15) = 5500, L(16; 0) = 3200.

Do đó, L_max  = 5500 tại x = 5 và y = 15.

Vậy phải sản xuất 5 cái áo và 15 cái quần để lợi nhuận lớn nhất.