Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến và trọng tâm G. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Câu hỏi :

Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến và trọng tâm G. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. AD+BE+CF>34AB+BC+AC;

B. AD+BE+CF=34AB+BC+AC;

C. AD + BE + CF < AB + BC + AC;

D. Đáp án A, C đúng.

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Media VietJack

Ta xét đáp án A, B:

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên ta có GB=23BE và GC=23CF.

∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).

Suy ra 23BE+23CF>BC.

Do đó 23BE+CF>BC.

Khi đó BE+CF>32BC  (1).

Chứng minh tương tự ta được:

+) AD+BE>32AB  (2).

+) AD+CF>32AC  (3).

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được: 2AD+2BE+2CF>32AB+32BC+32AC.

Suy ra 2AD+BE+CF>32AB+BC+AC.

Do đó AD+BE+CF>34AB+BC+AC.

Vậy đáp án A đúng, đáp án B sai.

Ta xét đáp án C:

Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.

Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:

DA = DA’.

BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC).

ADB^=A'DB^ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).

Suy ra AB = A’C (cặp cạnh tương ứng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được: AA’ < AC + A’C.

Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB  (4).

Chứng minh tương tự, ta được:

+) 2BE < AB + BC  (5).

+) 2CF < AC + BC  (6).

Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được: 2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.

Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).

Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.

Vậy đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 7

Lớp 7 - Năm thứ hai ở cấp trung học cơ sở, một cuồng quay mới lại đến vẫn bước tiếp trên đường đời học sinh. Học tập vẫn là nhiệm vụ chính!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK