Chứng minh với mọi n thuộc ℕ*, ta có: a) 4^n + 15n - 1 chia hết cho 9
Câu hỏi :
Chứng minh với mọi n ℕ*, ta có:
a) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9;
b) 13n – 1 chia hết cho 6.
Chứng minh với mọi n ℕ*, ta có:
a) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9;
b) 13n – 1 chia hết cho 6.
* Đáp án
* Hướng dẫn giải
a)
+) Khi n = 1, ta có: 41 + 15 . 1 – 1 = 18 ⁝ 9.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 4k + 1 + 15(k+1) – 1 ⁝ 9.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 4k + 15k – 1 ⁝ 9.
Khi đó:
4k + 1 + 15(k+1) – 1
= 4 . 4k + 15k + 14
= 4. 4k + (60k – 45k) + (–4 + 18)
= (4 . 4k + 60k – 4) – 45k + 18
= 4 . (4k + 15k – 1) – 45k + 18
Vì 4k + 15k – 1, 45k và 18 đều chia hết cho 9 nên 4 . (4k + 15k – 1) – 45k + 18 ⁝ 9, do đó 4k + 1 + 15(k+1) – 1 ⁝ 9.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ℕ*.
b)
+) Khi n = 1, ta có: 131 – 1 = 12 ⁝ 6.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 13k + 1 – 1 ⁝ 6.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 13k – 1 ⁝ 6.
Khi đó:
13k + 1 – 1
= 13 . 13k – 1
= 13 . 13k – 13 + 12
= 13 . (13k – 1) + 12
Vì 13k – 1 và 12 đều chia hết cho 6 nên 13 . (13k – 1) + 12 ⁝ 6, do đó 13k + 1 – 1 ⁝ 6.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ℕ*.
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Bài tập Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học có đáp án !!
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 10
Lớp 10 - Năm thứ nhất ở cấp trung học phổ thông, năm đầu tiên nên có nhiều bạn bè mới đến từ những nơi xa hơn vì ngôi trường mới lại mỗi lúc lại xa nhà mình hơn. Được biết bên ngoài kia là một thế giới mới to và nhiều điều thú vị, một trang mới đang chò đợi chúng ta.
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK