+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: ${(1 + \sqrt{2})}^{k + 1}$ viết được dưới dạng $a_{k + 1} + b_{k + 1} \sqrt{2},$ trong đó a_{k + 1}, b_{k + 1}là các số nguyên dương.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${(1 + \sqrt{2})}^{k} = a_{k} + b_{k} \sqrt{2},$ với a_k, b_klà các số nguyên dương.

Khi đó:

${(1 + \sqrt{2})}^{k + 1} = {(1 + \sqrt{2})}^{k} (1 + \sqrt{2})$

$= (a_{k} + b_{k} \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$

$= a_{k} . 1 + b_{k} \sqrt{2} . 1 + a_{k} . \sqrt{2} + b_{k} \sqrt{2} . \sqrt{2}$

$= a_{k} + b_{k} \sqrt{2} + a_{k} \sqrt{2} + 2 b_{k}$

$= (a_{k} + 2 b_{k}) + (a_{k} + b_{k}) \sqrt{2} .$

Vì a_k, b_klà các số nguyên dương nên a_k + 2b_k và a_k + b_k cũng là các số nguyên dương.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

+) Theo chứng minh trên ta có:

Với mọi n $\in$ ℕ^* thì ${(1 + \sqrt{2})}^{n} = a_{n} - b_{n} \sqrt{2}$ với a_n, b_nlà các số nguyên dương.

Chứng minh tương tự ta được:

Với mọi n $\in$ ℕ^* thì ${(1 - \sqrt{2})}^{n} = c_{n} - d_{n} \sqrt{2}$ với c_n, d_nlà các số nguyên dương.

Giờ ta chứng minh a_n = c_n và b_n = d_n với mọi n $\in$ ℕ^*.

Ta có: ${(1 + \sqrt{2})}^{n} {(1 - \sqrt{2})}^{n} = {[(1 + \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})]}^{n} = {(- 1)}^{n}$

$\Rightarrow (a_{n} + b_{n} \sqrt{2}) (c_{n} - d_{n} \sqrt{2}) = {(- 1)}^{n}$

$\Rightarrow (a_{n} c_{n} - 2 b_{n} d_{n}) + (b_{n} c_{n} - a_{n} d_{n}) \sqrt{2} = {(- 1)}^{n}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a_{n} c_{n} - 2 b_{n} d_{n} = {(- 1)}^{n} (1) \\ b_{n} c_{n} - a_{n} d_{n} = 0 (2) \end{cases} .$

Từ (2) ta suy ra $a_{n} d_{n} = b_{n} c_{n} \Rightarrow \frac{a_{n}}{c_{n}} = \frac{b_{n}}{d_{n}} = k$ với k > 0 (vì a_n, b_n, c_n, d_nlà các số nguyên dương)

$\Rightarrow a_{n} = k c_{n}, b_{n} = k d_{n} .$ Thế vào (1) ta được:

$(k c_{n}) c_{n} - 2 (k d_{n}) d_{n} = {(- 1)}^{n} \Rightarrow k (c_{n}^{2} - 2 d_{n}^{2}) = {(- 1)}^{n}$

$\Rightarrow 1 ⋮ k \Rightarrow k = 1 \Rightarrow$ a_n = c_n và b_n = d_n.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !

Bài tập Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học có đáp án !!

Số câu hỏi: 15

Lớp 10

Toán học

Toán học - Lớp 10

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 10

Lớp 10 - Năm thứ nhất ở cấp trung học phổ thông, năm đầu tiên nên có nhiều bạn bè mới đến từ những nơi xa hơn vì ngôi trường mới lại mỗi lúc lại xa nhà mình hơn. Được biết bên ngoài kia là một thế giới mới to và nhiều điều thú vị, một trang mới đang chò đợi chúng ta.

Nguồn : ADMIN :))